Дискретная математика. Элементы теории задачи и упражнения. Булгакова И.Н - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Пример 4. Докажите следующее равенство:
(
)
(
)
(
)
(
)
Μ
Β
Κ
Α
Μ
Κ
Β
Α
×
∩
×
=
∩
×
∩
.
Решение. Равенство двух множеств мы докажем с помощью двух
включений, объединив их одной записью . Заметим, что элементами мно-
жеств в данном случае являются упорядоченные пары точек. Итак, пусть
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
⇔
∩
∈
∩
∈
⇔
∩
×
∩
∈
Μ
Κ
Β
Α
Μ
Κ
Β
Α
yxyx ,,
⇔
∈
∈
∈
∈
⇔
∈
∈
∈
∈
⇔
Μ
Β
Κ
Α
Μ
Κ
Β
Α
x
x
x
x
,
,
,
,
,
,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Μ
Β
Κ
Α
Μ
Β
Κ
Α
×
∩
×
∈
⇔
×
∈
×
∈
⇔
yxyxyx ,,,, .
Пример 5. Докажите, что для любых непустых множеств
Κ
Β
Α
,
,
из
равенства
(
)
(
)
Κ
Κ
Α
Β
Β
Α
×
=
×
∪
×
следует , что
Κ
Β
Α
=
=
.
Решение. Для доказательства данного утверждения установим два
равенства
Κ
Α
=
и
Κ
Β
=
.
Для произвольных
Α
∈
x
и
Β
∈
(
)
(
)
Κ
Β
Κ
Α
Κ
Κ
Κ
Κ
Β
Α
⊆
⊆
⇒
∈
∈
⇒
×
∈
⇒
×
∈
,,,, yxyxyx .
С другой стороны, для произвольного
Κ
∈
x
(
)
(
)
Β
Α
Κ
Κ
×
∈
⇒
×
∈
xxxx ,, или
(
)
⇒
×
∈
Α
Β
xx ,
Α
∈
⇒
x
и
Α
Κ
Β
⊆
⇒
∈
x
и
Β
Κ
⊆
.
Таким образом ,
Κ
Β
Α
=
=
.
Пример 6. На множестве
{
}
15,14,13,12,11,10,9,8,7,6,5
=
Α
задано би -
нарное отношение
(
)
{
}
yнаделитсяxyx :,
=
ρ
. Нарисуйте граф данного
бинарного отношения.
a
b
d
c
x
y
M 
                                      y




                                      c

                                              b
                            a                                          x
                                     M
                                      d




       Пример 4. Докажите следующее равенство:
                  (Α ∩ Β )×(Κ ∩ Μ ) =(Α ×Κ ) ∩ (Β ×Μ ).
       Решение. Равенство двух множеств мы докажем с помощью двух
включений, объединив их одной записью. Заметим, что элементами мно-
жеств в данном случае являются упорядоченные пары точек. Итак, пусть
(x, y )∈(Α ∩ Β )×(Κ ∩ Μ ) ⇔ x ∈(Α ∩ Β ), y ∈(Κ ∩ Μ ) ⇔
⇔ x ∈Α , x ∈Β , y ∈Κ , y ∈Μ ⇔ x ∈Α , y ∈Κ , x ∈Β , y ∈Μ ⇔
⇔ (x, y )∈Α ×Κ , (x, y )∈Β ×Μ ⇔ (x , y )∈(Α ×Κ ) ∩ (Β ×Μ ) .

        Пример 5. Докажите, что для любых непустых множеств Α , Β , Κ из
равенства (Α ×Β ) ∪ (Β ×Α ) =Κ ×Κ следует, что Α =Β =Κ .
        Решение. Для доказательства данного утверждения установим два
равенства Α =Κ и Β =Κ .
       Для произвольных x ∈Α и y ∈Β
(x, y )∈Α ×Β ⇒ (x, y )∈Κ ×Κ ⇒ x ∈Κ , y ∈Κ ⇒ Α ⊆ Κ , Β ⊆ Κ .
       С другой стороны, для произвольного x ∈Κ
(x, x)∈Κ ×Κ ⇒ (x, x)∈Α ×Β или (x, x)∈Β ×Α ⇒
⇒ x ∈Α и x ∈Β ⇒ Κ ⊆ Α и Κ ⊆ Β .
       Таким образом, Α =Β =Κ .

     Пример 6. На множестве Α ={5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15} задано би-
нарное отношение ρ ={(x, y ): x делится на y}. Нарисуйте граф данного
бинарного отношения.

Страницы