Дискретная математика. Элементы теории задачи и упражнения. Булгакова И.Н - 3 стр.

              1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ОТНОШЕНИЙ

                    1.1 Элементы теории множеств

       Под множеством понимается совокупность некоторых объектов (эле-
ментов), объединенных некоторым признаком.              Множества обычно
обозначают большими буквами алфавита Α , Β , Χ , Υ , Ζ , Ω . Элементы,
входящие в множество, обозначаются малыми буквами a, b, x , y , z , ω . За-
пись x ∈Χ означает, что x является элементом множества Χ , а запись
x ∉Χ означает, что x не принадлежит множеству Χ . Два множества счи-
таются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
       Для описания множества пользуются двумя способами. Первый спо-
соб состоит в простом перечислении его элементов. Так, запись Α ={0,1,5}
означает, что множество Α состоит из трех чисел 0,1 и 5. Второй способ
состоит в определении множества с помощью некоторого свойства P, по-
зволяющего определить, принадлежит ли данный элемент данному множе-
ству или нет. В этом случае используется коллективизирующее обозначе-
ние
                                  Α ={x : P( x)},
которое читается следующим образом: множество Α состоит из всех эле-
ментов x , для которых P (x ) истинно. Если свойство P относится к эле-
ментам некоторого множества               Χ , то будем писать также
Α ={x ∈Χ : P( x)}. Например, множество {1, 2,3,4,5} можно задать следую-
щим образом:
          {1, 2,3,4,5}={x : x −целое число из интервала [1,5]}.
       Множество, не содержащее элементов, называется пустым множест-
вом и обозначается ∅.
       Знаком ⊆ обозначим отношение включения между множествами,
т.е. Α ⊆ Β , если каждый элемент множества Α есть элемент множества
Β . Если Α ⊆ Β , то говорят, что множество Α есть подмножество множе-
ства Β .
       Равенство двух множеств Α и Β означает выполнение двух вклю-
чений: Α ⊆ Β и Β ⊆ Α .
       Если Α ⊆ Β и Α ≠Β , то говорят, что Α есть собственное подмно-
жество Β и пишут Α ⊂ Β .
       Множество всех подмножеств множества Α называется множест-
вом-степенью и обозначается Ρ (Α ).
       Заметим, что: a) Χ ⊆ Χ ; б) если Χ ⊆Υ , Υ ⊆ Ζ , то Χ ⊆ Ζ ; в) ес-
ли Χ ⊆Υ , Υ ⊆ Χ , то Χ =Υ .
       Не надо смешивать отношения принадлежности и включения. Хотя
1 ∈{}
    1 , {}
         1 ∈{{} 1 }, не верно, что 1∈{{}
                                       1 }, так как единственным элементом
множества {{}  1 } является {}
                             1.