ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ОТНОШЕНИЙ
1.1 Элементы теории множеств
Под множеством понимается совокупность некоторых объектов (эле-
ментов), объединенных некоторым признаком. Множества обычно
обозначают большими буквами алфавита Α , Β , Χ , Υ , Ζ , Ω . Элементы,
входящие в множество, обозначаются малыми буквами a, b, x , y , z , ω . За-
пись x ∈Χ означает, что x является элементом множества Χ , а запись
x ∉Χ означает, что x не принадлежит множеству Χ . Два множества счи-
таются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
Для описания множества пользуются двумя способами. Первый спо-
соб состоит в простом перечислении его элементов. Так, запись Α ={0,1,5}
означает, что множество Α состоит из трех чисел 0,1 и 5. Второй способ
состоит в определении множества с помощью некоторого свойства P, по-
зволяющего определить, принадлежит ли данный элемент данному множе-
ству или нет. В этом случае используется коллективизирующее обозначе-
ние
Α ={x : P( x)},
которое читается следующим образом: множество Α состоит из всех эле-
ментов x , для которых P (x ) истинно. Если свойство P относится к эле-
ментам некоторого множества Χ , то будем писать также
Α ={x ∈Χ : P( x)}. Например, множество {1, 2,3,4,5} можно задать следую-
щим образом:
{1, 2,3,4,5}={x : x −целое число из интервала [1,5]}.
Множество, не содержащее элементов, называется пустым множест-
вом и обозначается ∅.
Знаком ⊆ обозначим отношение включения между множествами,
т.е. Α ⊆ Β , если каждый элемент множества Α есть элемент множества
Β . Если Α ⊆ Β , то говорят, что множество Α есть подмножество множе-
ства Β .
Равенство двух множеств Α и Β означает выполнение двух вклю-
чений: Α ⊆ Β и Β ⊆ Α .
Если Α ⊆ Β и Α ≠Β , то говорят, что Α есть собственное подмно-
жество Β и пишут Α ⊂ Β .
Множество всех подмножеств множества Α называется множест-
вом-степенью и обозначается Ρ (Α ).
Заметим, что: a) Χ ⊆ Χ ; б) если Χ ⊆Υ , Υ ⊆ Ζ , то Χ ⊆ Ζ ; в) ес-
ли Χ ⊆Υ , Υ ⊆ Χ , то Χ =Υ .
Не надо смешивать отношения принадлежности и включения. Хотя
1 ∈{}
1 , {}
1 ∈{{} 1 }, не верно, что 1∈{{}
1 }, так как единственным элементом
множества {{} 1 } является {}
1.
