ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ОТНОШЕНИЙ
1.1 Элементы теории множеств
Под множеством понимается совокупность некоторых объектов (эле-
ментов), объединенных некоторым признаком. Множества обычно
обозначают большими буквами алфавита
Ω
Ζ
Υ
Χ
Β
Α
,
,
,
,
,
. Элементы,
входящие в множество, обозначаются малыми буквами
ω
,
,
,
,
,
z
y
x
b
a
. За -
пись
Χ
∈
x
означает , что
x
является элементом множества
Χ
, а запись
Χ
∉
x
означает , что
x
не принадлежит множеству
Χ
. Два множества счи-
таются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
Для описания множества пользуются двумя способами. Первый спо -
соб состоит в простом перечислении его элементов. Так, запись
{
}
510 ,,
=
Α
означает , что множество
Α
состоит из трех чисел 0,1 и 5. Второй способ
состоит в определении множества с помощью некоторого свойства P, по -
зволяющего определить, принадлежит ли данный элемент данному множе-
ству или нет . В этом случае используется коллективизирующее обозначе-
ние
{
}
)(: xPx
=
Α
,
которое читается следующим образом: множество
Α
состоит из всех эле-
ментов
x
, для которых
)
(
x
P
истинно. Если свойство P относится к эле-
ментам некоторого множества
Χ
, то будем писать также
{
}
)(: xPx
Χ
Α
∈
=
. Например, множество
{
}
54321 ,,,, можно задать следую-
щим образом :
{
}
[
]
{
}
5154321 ,:,,,, интервалаизчислоцелоеxx
−
=
.
Множество, не содержащее элементов, называется пустым множест -
вом и обозначается
∅
.
Знаком
⊆
обозначим отношение включения между множествами,
т.е.
Β
Α
⊆
, если каждый элемент множества
Α
есть элемент множества
Β
. Если
Β
Α
⊆
, то говорят , что множество
Α
есть подмножество множе-
ства
Β
.
Равенство двух множеств
Α
и
Β
означает выполнение двух вклю -
чений:
Β
Α
⊆
и
Α
Β
⊆
.
Если
Β
Α
⊆
и
Β
Α
≠
, то говорят , что
Α
есть собственное подмно-
жество
Β
и пишут
Β
Α
⊂
.
Множество всех подмножеств множества
Α
называется множест -
вом-степенью и обозначается
(
)
Α
Ρ
.
Заметим , что: a)
Χ
Χ
⊆
; б) если
Ζ
Υ
Υ
Χ
⊆
⊆
,
, то
Ζ
Χ
⊆
; в) ес-
ли
Χ
Υ
Υ
Χ
⊆
⊆
,
, то
Υ
Χ
=
.
Не надо смешивать отношения принадлежности и включения. Хотя
{
}
{
}
{
}
{
}
11,11
∈
∈
, не верно, что
{
}
{
}
11
∈
, так как единственным элементом
множества
{
}
{
}
1 является
{
}
1.
