Дискретная математика. Элементы теории задачи и упражнения. Булгакова И.Н - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Отметим следующие основные законы для операций над множест -
вами:
Α
Β
Β
Α
∪
=
∪
( коммутативность объединения);
Α
Β
Β
Α
∩
=
∩
(коммутативность пересечения);
(
)
(
)
Μ
Β
Α
Μ
Β
Α
∪
∪
=
∪
∪
(ассоциативность объединения);
(
)
(
)
Μ
Β
Α
Μ
Β
Α
∩
∩
=
∩
∩
(ассоциативность пересечения);
(
)
(
)
(
)
Μ
Α
Β
Α
Μ
Β
Α
∪
∩
∪
=
∩
∪
(1-й закон дистрибутивности);
(
)
(
)
(
)
Μ
Α
Β
Α
Μ
Β
Α
∩
∪
∩
=
∪
∩
(2-й закон дистрибутивности);
Α
Α
=
∅
∪
;
U
U
=
∪
Α
;
∅
=
∅
∩
Α
;
Α
Α
=
∩
U
;
Β
Α
Β
Α
∩
=
∪
( закон де Моргана);
Β
Α
Β
Α
∪
=
∩
( закон де Моргана);
(
)
Α
Β
Α
Α
=
∩
∪
(закон поглощения);
(
)
Α
Β
Α
Α
=
∪
∩
(закон поглощения).
Рассмотрим методику решения задач по данной теме.
Пример 1. Равны ли следующие множества :
1)
5,4,2 и
2,5,4,2 ;
2)
{
}
2,1
и
2,1 ;
3)
3,2,1 и
3,2,1 ;
4)
{
}
{
}
3,2,1 и
{
}
{
}
{
}
3,2,1 .
Решение. Для доказательства равенства произвольных множеств
нужно проверить, что первое множество включено во второе, а второе, в
свою очередь, включено в первое, т .е. любой элемент первого множества
является элементом второго множества , а любой элемент второго множе-
ства является элементом первого множества .
Проверка дает положительный результат для множеств из пункта 1).
Это можно наглядно показать на следующей схеме, где стрелочка , идущая
от элемента, показывает , какой элемент в другом множестве ему соответ -
ствует .
{
}
5,4,2
2,5,4,2
{
}
2,5,4,2
5,4,2
Множества из пункта 2) неравны, так как, например, элемент
1
из
первого множества не имеет себе равного во втором множестве. Второе
множество состоит из единственного элемента – множества
{
}
2,1
. 
        Отметим следующие основные законы для операций над множест-
вами:

Α ∪ Β =Β ∪ Α ( коммутативность объединения);
Α ∩ Β =Β ∩ Α (коммутативность пересечения);
Α ∪ (Β ∪ Μ ) =(Α ∪ Β ) ∪ Μ (ассоциативность объединения);
Α ∩ (Β ∩ Μ ) =(Α ∩ Β ) ∩ Μ (ассоциативность пересечения);
Α ∪ (Β ∩ Μ ) =(Α ∪ Β ) ∩ (Α ∪ Μ )(1-й закон дистрибутивности);
Α ∩ (Β ∪ Μ ) =(Α ∩ Β ) ∪ (Α ∩ Μ )(2-й закон дистрибутивности);
Α ∪ ∅ =Α ;
Α ∪ U =U ;
Α ∩ ∅ =∅ ;
Α ∩ U =Α ;
Α ∪ Β =Α ∩ Β ( закон де Моргана);
Α ∩ Β =Α ∪ Β ( закон де Моргана);
Α ∪ (Α ∩ Β ) =Α (закон поглощения);
Α ∩ (Α ∪ Β ) =Α (закон поглощения).

Рассмотрим методику решения задач по данной теме.

       Пример 1. Равны ли следующие множества:
1) {2,4,5} и {2,4,5,2};
2) {1, 2} и {{1,2}} ;
3) {1,2,3} и {{}{
                1 , 2}{}
                      , 3 };
4) {{1,2},3} и {{}{
                 1 , 2,3}}.
       Решение. Для доказательства равенства произвольных множеств
нужно проверить, что первое множество включено во второе, а второе, в
свою очередь, включено в первое, т.е. любой элемент первого множества
является элементом второго множества, а любой элемент второго множе-
ства является элементом первого множества.
       Проверка дает положительный результат для множеств из пункта 1).
Это можно наглядно показать на следующей схеме, где стрелочка, идущая
от элемента, показывает, какой элемент в другом множестве ему соответ-
ствует.

 {2,4, 5}              {2, 4,   5, 2}


 {2, 4, 5,2}           {2,
                         4, 5}
     Множества из пункта 2) неравны, так как, например, элемент 1из
первого множества не имеет себе равного во втором множестве. Второе
множество состоит из единственного элемента – множества {1, 2}.

Страницы