Дискретная математика. Элементы теории задачи и упражнения. Булгакова И.Н - 7 стр.

             � x ∈Α          � x ∈Α
x ∈Α \ Β ⇒ �              ⇒�             ⇒ x ∈Α ∩ Β ,
              �     x ∉ Β     �    x ∈ Β
а доказательство второго включения по схеме
                 � x ∈Α         � x ∈Α
x ∈Α ∩ Β ⇒ �               ⇒ �            ⇒ x ∈Α \ Β .
                  �  x ∈ Β       �  x ∉ Β
      Заметим, что в данном примере мы могли рассмотреть не две схемы,
а одну, но вместо знака следствия использовать знак равносильности ⇔ .
      Тождество 2 можно также доказать с помощью двух включений, но
можно и не использовать данную схему, а опираться на уже доказанное
тождество 1) и на основные законы 1-14. Мы приведем данный способ до-
казательства, причем вверху над равенствами будем писать либо 1) – это
означает, что используется тождество 1), либо номер используемого ос-
новного закона. Итак,
                                  (      )               (
                Α ∪ (Β \ Κ ) =1) Α ∪ Β ∩ Κ =5) (Α ∪ Β )∩ Α ∪ Κ . )
      Аналогично можно доказать равенства 3),4),5). Для равенства 4)
приведем еще один способ доказательства – доказательство от противного.
Предположим противное, что множество Β ∩ (Α / Β ) не пусто, т.е. сущест-
вует хотя бы один элемент
                                                         � x ∈Β      � x ∈Β
                                          � x ∈Β          �           �
                x ∈Β ∩ (Α \ Β ) ⇒ �                   ⇒ � � x ∈Α ⇒ � x ∈Α .
                                           � x ∈Α \ Β       � � x ∉Β    �
                                                             � �          � x ∈Β
Никакой элемент x не может одновременно принадлежать и самому
множеству, и его дополнению, поэтому мы пришли к противоречию.

      Пример 5. Пусть Α , Β , Κ - такие множества, что Β ⊆ Α ⊆ Κ . Найди-
те множество Χ , удовлетворяющее системе уравнений
                               � Α ∩ Χ =Β
                                �            .
                                  � Α ∪ Χ =Κ
      Решение. Из первого уравнения следует, что Β ⊆ Χ , поэтому Χ
можно представить в виде Χ =Β ∪ Χ ′ , где Χ ′ ∩ Β =∅ . Из равенств
                 Α ∩ Χ =Β , Χ =Β ∪ Χ ′, Χ ′ ∩ Β =∅
следует, что Α ∩ Χ ′ =∅ .
      Итак, нам осталось найти множество Χ ′ . Заменим Χ во втором
уравнении на Χ =Β ∪ Χ ′ . Получим Α ∪ (Β ∪ Χ ′ ) =Κ . По ассоциативно-
му закону (Α ∪ Β ) ∪ Χ ′ =Κ . Из включения Β ⊆ Α следует, что
Α ∪ Β =Α , поэтому получаем равносильное уравнение Α ∪ Χ ′ =Κ . Два
факта Α ∩ Χ ′ =∅ и Α ⊆ Κ позволяют заключить, что решением послед-
него уравнения является множество Χ ′ =Κ \ Α . Окончательно
                              Χ =Β ∪ (K \ Α ).