Дискретная математика. Элементы теории задачи и упражнения. Булгакова И.Н - 7 стр.

UptoLike

ΒΑ
Β
Α
Β
Α
ΒΑ ∈⇒
⇒∈ x
x
x
x
x
x \ ,
а доказательство второго включения по схеме
ΒΑ
Β
Α
Β
Α
ΒΑ \ ∈⇒
∩∈ x
x
x
x
x
x
.
Заметим, что в данном примере мы могли рассмотреть не две схемы,
а одну, но вместо знака следствия использовать знак равносильности
.
Тождество 2 можно также доказать с помощью двух включений, но
можно и не использовать данную схему, а опираться на уже доказанное
тождество 1) и на основные законы 1-14. Мы приведем данный способ до-
казательства , причем вверху над равенствами будем писать либо 1) это
означает , что используется тождество 1), либо номер используемого ос-
новного закона. Итак,
(
)
(
)
(
)
(
)
ΚΑΒΑΚΒΑΚΒΑ ==∪
)5)1
\
.
Аналогично можно доказать равенства 3),4),5). Для равенства 4)
приведем еще один способ доказательства доказательство от противного .
Предположим противное, что множество
(
)
Β
Α
Β
/
не пусто, т .е. сущест -
вует хотя бы один элемент
()
∩∈
Β
Α
Β
Β
Α
Β
ΒΑ
Β
ΒΑΒ
x
x
x
x
x
x
x
x
x
\
\
.
Никакой элемент
x
не может одновременно принадлежать и самому
множеству , и его дополнению , поэтому мы пришли к противоречию .
Пример 5. Пусть
Κ
Β
Α
,
,
- такие множества , что
Κ
Α
Β
. Найди-
те множество
, удовлетворяющее системе уравнений
=∪
=∩
ΚΧΑ
ΒΧΑ
.
Решение. Из первого уравнения следует , что
Χ
Β
, поэтому
Χ
можно представить в виде
Χ
Β
Χ
=
, где
=
Β
Χ
. Из равенств
=
=
=
Β
Β
Β
Α
,,
следует , что
=
Χ
Α
.
Итак, нам осталось найти множество
Χ
. Заменим
Χ
во втором
уравнении на
Χ
Β
Χ
=
. Получим
(
)
Κ
Χ
Β
Α
=
. По ассоциативно-
му закону
(
)
Κ
Β
Α
=
. Из включения
Α
Β
следует , что
Α
Β
Α
=
, поэтому получаем равносильное уравнение
Κ
Χ
Α
=
. Два
факта
=
Χ
Α
и
Κ
Α
позволяют заключить, что решением послед -
него уравнения является множество
Α
Κ
Χ
\
=
. Окончательно
(
)
Α
Β
\K
=
.