Дискретная математика. Элементы теории задачи и упражнения. Булгакова И.Н - 8 стр.

      Пример 6. Докажите, что условие Α ⊆ Β равносильно каждому из
следующих условий:
                     1) Α ∩ Β =Α ; 2) Α ∪ Β =Β .
      Решение. Докажем, что Α ⊆ Β равносильно условию 1).
Итак, пусть Α ⊆ Β , докажем равенство Α ∩ Β =Α . Равенство будем дока-
зывать в два включения. Пусть
                           x ∈Α ∩ Β ⇒ x ∈Α .
Обратно, пусть
                 x ∈Α ⇒ Α ⊆Β x ∈Α , x ∈Β ⇒ x ∈Α ∩ Β .
Теперь предположим, что выполнено условие 1), докажем, что Α ⊆ Β .
Рассмотрим
                    x ∈Α ⇒ Α ∩ Β =Α x ∈Α ∩ Β ⇒ x ∈Β .
      Равносильность условия Α ⊆ Β условию 1) мы доказали, равно-
сильность условию 2) докажите самостоятельно.

      Пример 7. Докажите для произвольных множеств Α , Β , Κ :
1) если Α ⊄ Β и Α ∩ Κ =∅ , то Α ∪ Κ ⊄ Β ∪ Κ ;
2) если Β ∩ Κ =∅ и Α ∩ Κ ≠∅ , то Α \ Β ≠∅ .
      Решение.
      1) Нам нужно доказать, что существует хотя бы один элемент x′ та-
кой, что x′ ∈Α ∪ Κ , x′ ∉Β ∪ Κ . Нам известно, что Α ⊄ Β , поэтому суще-
ствует некоторый элемент x * ∈Α и x * ∉Β . В силу условия Α ∩ Κ =∅ ,
данный элемент x* ∉Κ . Таким образом, x* ∈Α ∪ Κ , x * ∉Β ∪ Κ .
     2)Нам нужно доказать, что существует хотя бы один элемент в мно-
жестве Α \ Β . Известно, что Α ∩ Κ ≠∅ , поэтому существует элемент
x * ∈Α , x * ∈Κ , причем, в силу условия Β ∩ Κ =∅ , данный элемент
x * ∉Β . Итак, мы построили элемент x * ∈Α и x * ∉Β .

      Пример 8. Докажите, что для произвольных множеств Α, Β спра-
ведливо равенство Ρ (Α ∩ Β ) =Ρ (Α ) ∩ Ρ (Β ).
      Решение. Доказательство проведем в виде двух включений, объеди-
нив их одной записью. Пусть
Χ ∈Ρ (Α ∩ Β ) ⇔ Χ ⊆ Α ∩ Β ⇔ Χ ⊆ Α , Χ ⊆ Β ⇔
⇔ Χ ∈Ρ (Α ), Χ ∈Ρ (Β ) ⇔ Χ ∈Ρ (Α )∩ Ρ (Β ) .
                    ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

1.Каждое из следующих множеств задайте в виде некоторого интервала
числовой прямой:
        1) {x ∈ R : ∃y ∈ R x 2 + y 2 =1};
             �                       y +1 �
         2) � x ∈ R : ∃y ∈ R   x=            � ;
               �                    y 2 +1 �