Дискретная математика. Элементы теории задачи и упражнения. Булгакова И.Н - 8 стр.

UptoLike

Пример 6. Докажите, что условие
Β
Α
равносильно каждому из
следующих условий:
1)
Α
Β
Α
=
; 2)
Β
Β
Α
=
.
Решение. Докажем , что
Β
Α
равносильно условию 1).
Итак, пусть
Β
Α
, докажем равенство
Α
Β
Α
=
. Равенство будем дока -
зывать в два включения. Пусть
Α
Β
Α
x
x
.
Обратно, пусть
ΒΑΒΑΑ
ΒΑ
⇒∈
xxxx , .
Теперь предположим , что выполнено условие 1), докажем , что
Β
Α
.
Рассмотрим
Β
Β
Α
Α
ΑΒΑ
=∩
x
x
x
.
Равносильность условия
Β
Α
условию 1) мы доказали, равно-
сильность условию 2) докажите самостоятельно.
Пример 7. Докажите для произвольных множеств
Β
Α
,
,
:
1) если
Β
Α
и
=
Α
, то
Β
Α
;
2) если
=
Β
и
Α
, то
Β
Α
\
.
Решение.
1) Нам нужно доказать, что существует хотя бы один элемент
x
та-
кой, что
Κ
Β
Κ
Α
xx , . Нам известно, что
Β
Α
, поэтому суще-
ствует некоторый элемент
Α
*
x
и
Β
*
x
. В силу условия
=
Α
,
данный элемент Κ
*
x . Таким образом, ΚΒΚΑ ∪∈
**
, xx .
2)Нам нужно доказать, что существует хотя бы один элемент в мно-
жестве
Β
Α
\
. Известно, что
Κ
Α
, поэтому существует элемент
ΚΑ ∈∈
**
, xx
, причем, в силу условия
=
Β
, данный элемент
Β
*
x
. Итак, мы построили элемент
Α
*
x
и
Β
*
x
.
Пример 8. Докажите, что для произвольных множеств
Β
Α
,
спра -
ведливо равенство
(
)
(
)
(
)
Β
Ρ
Α
Ρ
Β
Α
Ρ
=
.
Решение. Доказательство проведем в виде двух включений, объеди-
нив их одной записью . Пусть
(
)
Β
Χ
Α
Χ
Β
Α
Χ
Β
Α
Ρ
Χ
,
(
)
(
)
(
)
(
)
Β
Ρ
Α
Ρ
Χ
Β
Ρ
Χ
Α
Ρ
Χ
, .
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
1.Каждое из следующих множеств задайте в виде некоторого интервала
числовой прямой:
1)
{
}
;: 1
22
=+∃∈ yxRyRx
2) ;:
+
+
=∃∈
1
1
2
y
y
xRyRx