Дискретная математика. Элементы теории задачи и упражнения. Булгакова И.Н - 6 стр.

     Множества, указанные в пункте 3), неравны, так как элементами
первого множества являются числа 1,2,3 , а элементами второго множества
являются множества, состоящие из одного элемента {}{    1 , 2}{
                                                             , 3}.
     Пункт 4) сделайте самостоятельно.
     Пример 2. Следующие множества заданы перечислением своих эле-
ментов, задайте эти множества с помощью характерного для их элементов
свойства.
1) Α ={2, 4,6,8,...,32};
        � Киев, Минск, Кишинев, Таллинн, Вильнюс, Рига, Москва, �
         �                                                         �
2) Κ =� Ереван, Тбилиси, Баку, Ташкент, Ашхабад, Душанбе, �
           � Алма −Ата, Фрунзе                                       �
            �                                                          �
     Решение. Множество Α представляет собой множество четных на-
туральных чисел от 1 до 32, поэтому это множество можно записать в виде
                           Α ={x ∈Ν : x =2 n, n =1,...,16}.
     Множество Κ представляет собой множество столиц республик
бывшего СССР, т.е. это множество можно записать в виде
                       Κ ={x : x −столица республики СССР}.

     Пример 3. Приведите примеры таких множеств Α , Β , Κ , для кото-
рых
1) Α ∈Β , Β ∈Κ , Α ∉Κ ;
2) Α ∈Β , Β ∈Κ , Α ∈Κ ;
3) Α ∈Β , Β ∉Κ , Α ⊆ Κ ;
4) Α ⊆ Β , Β ∈Κ , Α ∉Κ .
      Решение. В качестве примера множеств, удовлетворяющих условию
из пункта 1, можно рассмотреть следующие множества
                 Α ={1,2}, Β ={{1,2},1}, Κ ={3, {{1,2},1}} .
      Пункту 3) удовлетворяют множества
                  Α ={2,3}, Β ={{}{
                                  1 , 2,3}}, Κ ={2,3, 4}.
      Пункты 2) и 4) рассмотрите самостоятельно.

       Пример 4. Докажите следующие тождества:
1) Α \ Β =Α ∩ Β ;                                          (      )
                                    2) Α ∪ (Β \ Κ ) =(Α ∪ Β ) ∩ Α ∪ Κ ;
           (      )
3) (Α ∪ Β ) ∩ Β ∪ Α =Α ;            4) Β ∩ (Α \ Β ) =∅ ;
5) Α ∩ (Β +Κ ) =(Α ∩ Β ) +(Α ∩ Κ ).
       Решение. Для доказательства равенства 1) докажем два включения:
                              Α \ Β ⊆Α ∩ Β ,
                              Α ∩ Β ⊆Α \ Β .
Доказательство первого включения проведем по схеме