Дискретная математика. Элементы теории задачи и упражнения. Булгакова И.Н - 52 стр.

UptoLike

3. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
При решении многих комбинаторных задач часто пользуются мето-
дом сведения данной задачи к задаче, касающейся меньшего числа пред -
метов. Метод сведения к аналогичной задаче для меньшего числа пред-
метов называется методом рекуррентных соотношений. Пользуясь
рекуррентными соотношениями, можно свести задачу об
n
предметах к
задаче об
1
n
предметах, потом к задаче об
2
n
предметах и т.д. После-
довательно уменьшая число предметов, доходим до задачи, которую уже
легко решить.
В книге Liber Abaci итальянский математик Фибоначчи среди
многих других задач привел следующую: пара кроликов приносит раз в
месяц приплод из двух крольчат (самки и самца ), причем новорожденные
крольчата через два месяца после рождения уже приносят приплод . Сколь-
ко кроликов появится через год , если в начале года была одна пара кроли-
ков?
Из условия задачи следует , что через месяц будет две пары кроли-
ков. Через два месяца приплод даст только первая пара кроликов, и полу -
чится 3 пары. А еще через месяц приплод дадут и исходная пара , и пара
кроликов, появившаяся два месяца тому назад. Поэтому всего будет 5 пар
кроликов.
Обозначим через )n(F количество пар кроликов по истечении
n
ме-
сяцев с начала года. Мы видим , что через
1
+
n
месяцев будет
)n(F
и еще
столько новорожденных пар кроликов, сколько было в конце месяца
1
n
,
то есть еще
)n(F 1
пар кроликов. Иными словами, имеет место рекур-
рентное соотношение
).n(F)n(F)n(F 11
+
=
+
Так как по условию 10
=
)(F и 21
=
)(F , то последовательно находим
845332
=
=
=
)(F,)(F,)(F и т . д .
Числа
)n(F
называются числами Фибоначчи .
3.1 Решение рекуррентных соотношений
Будем говорить, что рекуррентное соотношение имеет порядок
k
,
если оно позволяет выразить
(
)
knf
+
через
(
)
(
)
(
)
11
+
+
knf,,nf,nf K
.
Например,
(
)
(
)
(
)
(
)
11312
2
+++=+ nfnfnfnf
рекуррентное соотношение второго порядка , а
(
)
(
)
(
)
(
)
1263
+
+
+
=
+
nfnfnfnf
рекуррентное соотношение третьего порядка .