Дискретная математика. Элементы теории задачи и упражнения. Булгакова И.Н - 56 стр.

UptoLike

уравнения совпадают:
21
rr
=
. В этом случае выражение
1
22
1
11
−−
+
nn
rCrC
уже не будет общим решением . Ведь из-за того , что
21
rr
=
, это решение
можно записать в виде
(
)
(
)
.CrrCCnf
nn 1
1
1
121
=−
=+=
У нас остается только одно произвольное постоянное
C
, и выбрать его
так, чтобы удовлетворить двум начальным условиям
(
)
(
)
bf,af
=
=
21 , во-
обще говоря, невозможно.
Поэтому надо найти какое-нибудь второе решение отличное от
(
)
1
11
=
n
rnf . Оказывается, таким решением является
(
)
1
12
=
n
nrnf . В самом
деле, если квадратное уравнение
21
2
arar += имеет два совпадающих
корня
21
rr
=
, то по теореме Виета
2
1211
2 ra,ra ==
. Поэтому наше урав-
нение записывается так:
2
11
2
2 rrrr −= .
Тогда рекуррентное соотношение имеет такой вид :
(
)
(
)
(
)
nfrnfrnf
2
11
122 +=+ . (5)
Проверим, что
(
)
1
12
=
n
nrnf действительно является его решением . Имеем
(
)
(
)
1
12
22
+
+=+
n
rnnf
, а
(
)
(
)
n
rnnf
12
11 +=+
. Подставляя эти значения в со-
отношение (4), получаем очевидное тождество
(
)
(
)
1
1
1
1
1
1
122
+++
+=+
nnn
nrrnrn .
Значит ,
1
1
n
nr решение нашего соотношения.
Теперь уже знаем два решения
(
)
1
11
=
n
rnf и
(
)
1
12
=
n
nrnf заданного
соотношения. Его общее решение пишется так:
(
)
(
)
nCCrnrCrCnf
n
r
nn
21
11
12
1
11
+=+=
−−
.
Путем подбора
1
C и
2
C можно удовлетворить любым начальным услови-
ям .
Линейные рекуррентные соотношения с постоянными коэффициен -
тами, порядок которых больше двух, решаются таким же способом. Пусть
соотношение имеет вид
(
)
(
)
(
)
nfaknfaknf
k
+
+
+
=
+
K1
1
.
Составляем характеристическое уравнение
k
kk
arar ++=
K
1
1
.
Если все корни
k
r,,r K
1
этого алгебраического уравнение
k
- й степени раз-
личны, то общее решение имеет вид
(
)
11
22
1
11
−−
+++=
n
kk
nn
rCrCrCnf K .
Если же, например,
s
rrr
=
=
=
K
21
, то этому корню соответствуют реше-
ния
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
11
1
2
3
1
12
1
11
−−
====
ns
s
nnn
rnnf,,rnnf,nrnf,rnf K
рассматриваемого рекуррентного соотношения. В общем решении этому