Дискретная математика. Элементы теории задачи и упражнения. Булгакова И.Н - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

корню соответствует часть
[
]
12
321
1
1
−−
++++
s
s
n
nCnCnCCr K .
Составляя такие выражения для всех корней и складывая их, получаем об-
щее решение.
Например, решим рекуррентное соотношение
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
nfnfnfnfnf 81426354
+
+
−
+
−
+
=
+
.
Характеристическое уравнение имеет здесь вид
0
8
4
6
5
234
=
−
+
+
−
r
r
r
r
.
Решая его , получаем корни
.r,r,r,r 1222
4321
−
=
=
=
=
Значит, общее решение нашего соотношения имеет следующий вид :
(
)
[
]
(
)
1
4
2
321
1
12
−
−
−+++=
n
n
CnCnCCnf .
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Написать первые пять членов решения рекуррентного соотношения
(
)
(
)
(
)
nfnfnf 3122
−
+
=
+
, удовлетворяющего заданным начальным
условиям :
1)
(
)
()
=
=
12
01
f
f
2)
(
)
()
=
−=
12
11
f
f
3)
(
)
()
=
=
02
31
f
f
4)
(
)
()
=
=
12
21
f
f
5)
(
)
()
=
=
82
21
f
f
2. Проверить, являются ли данные функции решениями данных рекур-
рентных соотношений:
1)
(
)
(
)
(
)
()()()
.n,nn,n
;nfnfnf
n
31225
122
321
=+=⋅=
−
+
=
+
ϕϕϕ
2)
(
)
(
)
(
)
()()()
71352
3142
321
=−⋅==
−
+
=
+
n,n,nn
;nfnfnf
n
ϕϕϕ
3. Найти общее решение рекуррентных соотношений:
1)
012172
=
+
+
−
+
)n(f)n(f)n(f
;
2) 010132
=
−
+
+
+
)n(f)n(f)n(f ;
3) 013142
=
+
+
−
+
)n(f)n(f)n(f ;
4)
092
=
+
+
)n(f)n(f
;
5)
;
)
n
(
f
)
n
(
f
)
n
(
f
0
4
1
4
2
=
+
+
+
+
6)
(
)
(
)
(
)
(
)
;nfnfnfnf 024126293
=
−
+
+
+
−
+
7)
(
)
(
)
(
)
(
)
;nfnfnfnf 013233
=
+
+
+
+
+
+
8)
(
)
(
)
.nfnf 044
=
+
+
корню соответствует часть
                              [
                      r1n −1 C1 +C 2 n +C 3 n 2 + +C s n s −1 .  ]
Составляя такие выражения для всех корней и складывая их, получаем об-
щее решение.
     Например, решим рекуррентное соотношение
             f (n +4 ) =5 f (n +3) −6 f (n +2 ) −4 f (n +1) +8 f (n ).
Характеристическое уравнение имеет здесь вид
                             r 4 −5r 3 +6r 2 +4r −8 =0 .
Решая его, получаем корни
                             r1 =2, r2 =2, r3 =2, r4 =−1.
     Значит, общее решение нашего соотношения имеет следующий вид:
                                   [                    ]
                   f (n ) =2 n −1 C 1 +C 2 n +C 3 n 2 +C 4 (−1) .
                                                               n −1




                            ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

1. Написать первые пять членов решения рекуррентного соотношения
    f (n +2) =2 f (n +1) −3 f (n ), удовлетворяющего заданным начальным
   условиям:
     � f (1) =0         � f (1) =−1       � f (1) =3        � f (1) =2        � f (1) =2
1) �               2) �              3) �              4) �              5) �
      � f (2 ) =1        � f (2 ) =1       � f (2 ) =0       � f (2 ) =1       � f (2 ) =8
2. Проверить, являются ли данные функции решениями данных рекур-
   рентных соотношений:

               f (n +2 ) =2 f (n +1) − f (n );
          1)
               ϕ1 (n ) =5 ⋅ 2 n , ϕ 2 (n ) =2n +1, ϕ 3 (n ) =3.

               f (n +2 ) =4 f (n +1) −3 f (n );
          2)
           ϕ1 (n ) =2n , ϕ 2 (n ) =5 ⋅ 3 n −1, ϕ 3 (n ) =7
3. Найти общее решение рекуррентных соотношений:
        1) f ( n +2 ) −7 f ( n +1) +12 f ( n ) =0 ;
        2) f ( n +2 ) +3 f ( n +1) −10 f ( n ) =0 ;
        3) f ( n +2 ) −4 f ( n +1) +13 f ( n ) =0 ;
        4) f ( n +2 ) +9 f ( n ) =0 ;
        5) f ( n +2 ) +4 f ( n +1 ) +4 f ( n ) =0;
        6) f (n +3) −9 f (n +2 ) +26 f (n +1) −24 f (n ) =0;
        7) f (n +3) +3 f (n +2 ) +3 f (n +1) + f (n ) =0;
        8) f (n +4) +4 f (n ) =0.

Страницы