ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
4. Найти
(
)
nf , зная рекуррентное соотношение и начальные члены:
1)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,f,f,nfnfnf 721106152
−
=
=
=
+
+
−
+
2)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,f,f,nfnfnf 422104142
=
=
=
+
+
−
+
3)
()()()() ()
.f,f,nfnfnf
2
1
2
4
1
1012 −=−==++++
4)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
;f;f;nfnfnf 4221122
=
=
−
+
=
+
5)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
;f;f;nfnfnf 52115142
=
=
+
+
=
+
6)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
;f;f;nfnfnf 32019162
=
=
−
+
=
+
7)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
;f;f;nfnfnf 2211122
=
=
+
−
=
+
8)
(
)
(
)
(
)
;f;nfnf 41182
=
+
=
+
5. Привести пример линейного рекуррентного соотношения 2-го порядка ,
среди решений которого имеются следующие функции:
1)
(
)
;n
n
3 = ϕ 2)
(
)
;n
nn
523 −⋅=ϕ
3)
(
)
;n
n
12 −=ϕ
4)
(
)
;nn 17
−
=
ϕ
6. Найти такую последовательность, что
α
α
221 cos)(f,cos)(f
=
=
и
0122
=
+
+
−
+
)n(f)n(fcos)n(f
α
.
7. Найти последовательность такую, что
n
)n(f)n(f)n(f 28122 =−+++
.
8. Проанализировать рекуррентное соотношение (3), если известно, что
один из корней характеристического уравнений (4) равен нулю . Каков
порядок этого рекуррентного соотношения? Доказать, что его общее
решение в данном случае имеет вид :
(
)
n
aCC,n
11
=ϕ . Что можно сказать о
решении рекуррентного соотношения (3), если оба корня характеристи-
ческого уравнения (4) равны нулю ?
9. Последовательность Фибоначчи задается следующим рекуррентным
соотношением :
(
)
(
)
(
)
nFnFnF
+
+
=
+
12
и начальными условиями
(
)
(
)
121
=
=
FF . Найти общий член этой последовательности. Выписать
первые 10 чисел Фибоначчи. Доказать, что для любых натуральных
m
и
n
справедливы соотношения:
1)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
11
+
+
−
=
+
mFnFmFnFmnF
2)
(
)
(
)
(
)
(
)
221231
+
=
+
+
+
+
nFnFFF K
4. Найти f (n ), зная рекуррентное соотношение и начальные члены:
1) f (n +2) −5 f (n +1) +6 f (n ) =0 , f (1) =1, f (2 ) =−7 ,
2) f (n +2) −4 f (n +1) +4 f (n ) =0 , f (1) =2 , f (2 ) =4,
1 1
3) f (n +2) + f (n +1) + f (n ) =0, f (1) =− , f (2 ) =− .
4 2
4) f (n +2) =2 f (n +1) − f (n ); f (1) =2; f (2 ) =4;
5) f (n +2) =4 f (n +1) +5 f (n ); f (1) =1; f (2 ) =5;
6) f (n +2 ) =6 f (n +1) −9 f (n ); f (1) =0; f (2) =3;
7) f (n +2) =2 f (n ) − f (n +1); f (1) =1; f (2 ) =2;
8) f (n +2 ) =8 f (n +1); f (1) =4;
5. Привести пример линейного рекуррентного соотношения 2-го порядка,
среди решений которого имеются следующие функции:
1) ϕ (n ) =3 n ; 2) ϕ (n ) =3 ⋅ 2 n −5 n ;
3) ϕ (n ) =2 n −1; 4) ϕ (n ) =n −17;
6. Найти такую последовательность, что f ( 1) =cos α , f ( 2 ) =cos 2α и
f ( n +2 ) −2 cos α f ( n +1) + f ( n ) =0 .
7. Найти последовательность такую, что
f ( n +2 ) +2 f ( n +1) −8 f ( n ) =2 n .
8. Проанализировать рекуррентное соотношение (3), если известно, что
один из корней характеристического уравнений (4) равен нулю. Каков
порядок этого рекуррентного соотношения? Доказать, что его общее
решение в данном случае имеет вид: ϕ (n , C ) =C1 a1n . Что можно сказать о
решении рекуррентного соотношения (3), если оба корня характеристи-
ческого уравнения (4) равны нулю?
9. Последовательность Фибоначчи задается следующим рекуррентным
соотношением: F (n +2) =F (n +1) +F (n ) и начальными условиями
F (1) =F (2 ) =1 . Найти общий член этой последовательности. Выписать
первые 10 чисел Фибоначчи. Доказать, что для любых натуральных m и
n справедливы соотношения:
1) F (n +m) =F (n −1)F (m) +F (n )F (m +1)
2) F (1) +F (3) + +F (2 n +1) =F (2n +2 )
