Дискретная математика. Элементы теории задачи и упражнения. Часть 2. Булгакова И.Н - 62 стр.

                                           108
Операция замыкания. Основные замкнутые классы.
__________________________________________________________________________________________
       Например,
        P (x , y ) =[ x + y ≥0 , x , y ∈ R ] — тождественно истинный преди-
кат;
       Q (x 1 , x 2 x 3 ) =[x 12 + x 22 + x 32 <0 , x i ∈ R , i =1, 2 , 3] — тождественно
ложный предикат, т.к. E Q =∅ .
       F ( x ) =[x +3 =1, x ∈N ]               —        выполнимый          предикат, т.к.
E F ={−2}≠∅ .
       Φ( x , y ) =[x 2 + y 2 >0 , ( x , y )∈R ×R ] — опровержимый предикат,
т.к. E Φ =R ×R \ {(0 ,0 )}; E Φ ≠M .

       Говорят, что предикат Q( x ) является следствием предиката P ( x )
(P (x) ⇒ Q(x )), если E P является подмножеством E Q : E P ⊂ E Q .
     Определение 2: Два предиката P ( x ) и Q ( x ), определенные на одном
и том же множестве, одной и той же местности, называются равносиль-
ными (P ( x ) ⇔ Q( x )), если их множества истинности совпадают: E P =E Q .

     Например,
      P (x , y ) =[x 2 + y 2 =1, x , y ∈Z ] и     Q (x , y ) =[ x + y =1, x , y ∈ Z ] —
равносильные                  двухместные                    предикаты,              т.к.
E P =E Q ={(0 ,1), (1,0), (−1,0), (0 ,−1)}.
     Предикат         A(x , y ) =[x 2 + y 2 ≤1, x , y ∈ R ] является следствием
предиката B ( x , y ) =[ x +y ≤1, x , y ∈R ], т.к. E B ⊂ E A (см. рис.)
                                          Y

                                              1




                                  -1                  1         X


                                         -1