ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3
1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ОТНОШЕНИЙ
1.1 Элементы теории множеств
Под множеством понимается совокупность некоторых объектов
(элементов), объединенных некоторым признаком. Множества обычно
обозначают большими буквами алфавита
W
Z
U
C
B
A
,
,
,
,
,
. Элементы,
входящие в множество, обозначаются малыми буквами
w
,
,
,
,
,
z
y
x
b
a
. За-
пись
C
Î
x
означает, что
x
является элементом множества
C
, а запись
C
Ï
x
означает, что
x
не принадлежит множеству
C
. Два множества счи-
таются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
Для описания множества пользуются двумя способами. Первый спо-
соб состоит в простом перечислении его элементов. Так, запись
{
}
510 ,,
=
A
означает, что множество
A
состоит из трех чисел 0,1 и 5. Второй способ со-
стоит в определении множества с помощью некоторого свойства P, позво-
ляющего определить, принадлежит ли данный элемент данному множеству
или нет. В этом случае используется коллективизирующее обозначение
{
}
)(: xPx
=
A
,
которое читается следующим образом: множество
A
состоит из всех эле-
ментов
x
, для которых
)
(
x
P
истинно. Если свойство P относится к эле-
ментам некоторого множества
C
, то будем писать также
{
}
)(: xPx
C
A
Î
=
. Например, множество
{
}
54321 ,,,, можно задать следую-
щим образом:
{
}
[
]
{
}
5,1:5,4,3,2,1 интервалаизчислоцелоеxx
-
=
.
Множество, не содержащее элементов, называется пустым множест-
вом и обозначается
Æ
.
Знаком
Í
обозначим отношение включения между множествами, т.е.
B
A
Í
, если каждый элемент множества
A
есть элемент множества
B
. Ес-
ли
B
A
Í
, то говорят, что множество
A
есть подмножество множества
B
.
Равенство двух множеств
A
и
B
означает выполнение двух вклю-
чений:
B
A
Í
и
A
B
Í
.
Если
B
A
Í
и
B
A
¹
, то говорят, что
A
есть собственное подмно-
жество
B
и пишут
B
A
Ì
.
Множество всех подмножеств множества
A
называется множест-
вом-степенью и обозначается
(
)
A
R
.
Заметим, что: a)
C
C
Í
; б) если
Z
U
U
C
Í
Í
,
, то
Z
C
Í
; в) ес-
ли
C
U
U
C
Í
Í
,
, то
U
C
=
.
Не надо смешивать отношения принадлежности и включения. Хотя
{
}
{
}
{
}
{
}
11,11
Î
Î
, не верно, что
{
}
{
}
11
Î
, так как единственным элементом
множества
{
}
{
}
1 является
{
}
1 .
Пустое множество есть подмножество любого множества.
1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ОТНОШЕНИЙ
1.1 Элементы теории множеств
Под множеством понимается совокупность некоторых объектов
(элементов), объединенных некоторым признаком. Множества обычно
обозначают большими буквами алфавита � , � , � , � , � , � . Элементы,
входящие в множество, обозначаются малыми буквами a, b, x, y , z , � . За-
пись x � � означает, что x является элементом множества � , а запись
x � � означает, что x не принадлежит множеству � . Два множества счи-
таются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
Для описания множества пользуются двумя способами. Первый спо-
соб состоит в простом перечислении его элементов. Так, запись � � �0,1,5�
означает, что множество � состоит из трех чисел 0,1 и 5. Второй способ со-
стоит в определении множества с помощью некоторого свойства P, позво-
ляющего определить, принадлежит ли данный элемент данному множеству
или нет. В этом случае используется коллективизирующее обозначение
� � �x : P( x )�,
которое читается следующим образом: множество � состоит из всех эле-
ментов x , для которых P(x ) истинно. Если свойство P относится к эле-
ментам некоторого множества � , то будем писать также
� � �x � � : P( x )�. Например, множество �1,2,3,4,5� можно задать следую-
щим образом:
�1,2,3,4,5� � �x : x � целое число из интервала �1,5��.
Множество, не содержащее элементов, называется пустым множест-
вом и обозначается � .
Знаком � обозначим отношение включения между множествами, т.е.
� � � , если каждый элемент множества � есть элемент множества � . Ес-
ли � � � , то говорят, что множество � есть подмножество множества � .
Равенство двух множеств � и � означает выполнение двух вклю-
чений: � � � и � � � .
Если � � � и � � � , то говорят, что � есть собственное подмно-
жество � и пишут � � � .
Множество всех подмножеств множества � называется множест-
вом-степенью и обозначается � �� � .
Заметим, что: a) � � � ; б) если � � � , � � � , то � � � ; в) ес-
ли � � � , � � � , то � � � .
Не надо смешивать отношения принадлежности и включения. Хотя
1 � �1�, �1� � ��1��, не верно, что 1� ��1��, так как единственным элементом
множества ��1�� является �1�.
Пустое множество есть подмножество любого множества.
3
