Дискретная математика. Элементы теории, задачи и упражнения. Часть 1. Булгакова И.Н. - 5 стр.

UptoLike

Составители: 

5
Отметим следующие основные законы для операций над множествами:
1.
A
B
B
A
È
=
È
( коммутативность объединения);
2.
A
B
B
A
Ç
=
Ç
(коммутативность пересечения);
3.
(
)
(
)
M
B
A
M
B
A
È
È
=
È
È
(ассоциативность объединения);
4.
(
)
(
)
M
B
A
M
B
A
Ç
Ç
=
Ç
Ç
(ассоциативность пересечения);
5.
(
)
(
)
(
)
M
A
B
A
M
B
A
È
Ç
È
=
Ç
È
(1-й закон дистрибутивности);
6.
(
)
(
)
(
)
M
A
B
A
M
B
A
Ç
È
Ç
=
È
Ç
(2-й закон дистрибутивности);
7.
A
A
=
È
;
8.
U
U
=
È
A
;
9.
=
Ç
A
;
10.
A
A
=
Ç
U
;
11.
B
A
B
A
Ç
=
È
( закон де Моргана);
12.
B
A
B
A
È
=
Ç
( закон де Моргана);
13.
(
)
A
B
A
A
=
Ç
È
(закон поглощения);
14.
(
)
A
B
A
A
=
È
Ç
(закон поглощения).
Рассмотрим методику решения задач по данной теме.
Пример 1. Равны ли следующие множества:
1)
{
}
5,4,2 и
{
}
2,5,4,2 ;
2)
{
}
2,1 и
1,2;
3)
{
}
3,2,1 и
{
}
{
}
{
}
{
}
3,2,1 ;
4)
{
}
{
}
3,2,1 и
{
}
{
}
{
}
3,2,1 .
Решение. Для доказательства равенства произвольных множеств
нужно проверить, что первое множество включено во второе, а второе, в
свою очередь, включено в первое, т.е. любой элемент первого множества
является элементом второго множества, а любой элемент второго множе-
ства является элементом первого множества.
Проверка дает положительный результат для множеств из пункта 1).
Это можно наглядно показать на следующей схеме, где стрелочка, идущая от
элемента, показывает, какой элемент в другом множестве ему соответствует.
{
}
5,4,2
{
}
2,5,4,2
{
}
2,5,4,2
{
}
5,4,2
Множества из пункта 2) неравны, так как, например, элемент
1
из
первого множества не имеет себе равного во втором множестве. Второе
множество состоит из единственного элемента множества
{
}
2,1 .