Дискретная математика. Элементы теории, задачи и упражнения. Часть 1. Булгакова И.Н. - 7 стр.

                   �x � �    �x � �
      x�� \ � � �          ��        � x�� �� ,
                   � x � �   � x � �
а доказательство второго включения по схеме
                    �x � �    �x � �
      x�� �� � �            ��         � x�� \ � .
                    � x � �   � x � �
      Заметим, что в данном примере мы могли рассмотреть не две схемы,
а одну, но вместо знака следствия использовать знак равносильности � .
      Тождество 2 можно также доказать с помощью двух включений, но
можно и не использовать данную схему, а опираться на уже доказанное
тождество 1) и на основные законы 1–14. Мы приведем данный способ до-
казательства, причем вверху над равенствами будем писать либо 1) – это
означает, что используется тождество 1), либо номер используемого ос-
новного закона. Итак,
                                  �       �            �      �
               � � �� \ � � �1) � � � � � � 5) �� � � � � � � � .
      Аналогично можно доказать равенства 3), 4), 5). Для равенства
4) приведем еще один способ доказательства – доказательство от против-
ного. Предположим противное, что множество � � �� / � � не пусто, т. е.
существует хотя бы один элемент
                                                 �x � �     �x � �
                                    �x � �       �          �
                x � � � �� \ � � � �           � �� x � � � � x � � .
                                    �x � � \ �   �� x � �   �
                                                 ��         �x � �
      Никакой элемент x не может одновременно принадлежать и самому
множеству, и его дополнению, поэтому мы пришли к противоречию.

      Пример 5. Пусть �� �� � – такие множества, что � � � � � . Най-
дите множество � , удовлетворяющее системе уравнений
                                  �� � � � �
                                  �           .
                                  �� � � � �
      Решение. Из первого уравнения следует, что � � � , поэтому �
можно представить в виде � � � � � � , где � � � � � � . Из равенств
                     � � � � � , � � � � � �, � � � � � �
следует, что � � � � � � .
      Итак, нам осталось найти множество � � . Заменим � во втором урав-
нении на � � � � � � . Получим � � �� � � �� � � . По ассоциативному за-
кону �� � � � � � � � � . Из включения � � � следует, что � � � � � , по-
этому получаем равносильное уравнение � � � � � � . Два факта
� � � � � � и � � � позволяют заключить, что решением последнего урав-
нения является множество � � � � \ � . Окончательно

                                      7