Дискретная математика. Элементы теории, задачи и упражнения. Часть 1. Булгакова И.Н. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

8
(
)
A
B
C
\K
È
=
.
Пример 6. Докажите, что условие
B
A
Í
равносильно каждому из
следующих условий:
1)
A
B
A
=
Ç
; 2)
B
B
A
=
È
.
Решение. Докажем, что
B
A
Í
равносильно условию 1).
Итак, пусть
B
A
Í
, докажем равенство
A
B
A
=
Ç
. Равенство будем
доказывать в два включения. Пусть
A
B
A
Î
Ç
Î
x
x
.
Обратно, пусть
BABAA
BA
ÇÎÞÎÎÞÎ
Í
xxxx , .
Теперь предположим, что выполнено условие 1), докажем, что
B
A
Í
. Рассмотрим
BBAA
ABA
ÎÞÇÎÞÎ
=Ç
x
x
x
.
Равносильность условия
B
A
Í
условию 1) мы доказали, равносиль-
ность условию 2) докажите самостоятельно.
Пример 7. Докажите для произвольных множеств
A,B,K
:
1) если
B
A
Ë
и
Æ
=
Ç
K
A
, то
K
B
K
A
È
Ë
È
;
2) если
Æ
=
Ç
K
B
и
Æ
¹
Ç
K
A
, то
Æ
¹
B
A
\
.
Решение.
1) Нам нужно доказать, что существует хотя бы один элемент
x
¢
та-
кой, что
K
B
K
A
È
Ï
¢
È
Î
¢
xx , . Нам известно, что
B
A
Ë
, поэтому суще-
ствует некоторый элемент
A
Î
*
x
и
B
Ï
*
x . В силу условия
Æ
=
Ç
K
A
,
данный элемент
K
Ï
*
x . Таким образом,
KBKA
ÈÏÈÎ
**
, xx .
2) Нам нужно доказать, что существует хотя бы один элемент в мно-
жестве
B
A
\
. Известно, что
Æ
¹
Ç
K
A
, поэтому существует элемент
KA
ÎÎ
**
, xx , причем, в силу условия
Æ
=
Ç
K
B
, данный элемент
B
Ï
*
x . Итак, мы построили элемент
A
Î
*
x
и
B
Ï
*
x .
Пример 8. Докажите, что для произвольных множеств
A,B
спра-
ведливо равенство
(
)
(
)
(
)
B
R
A
R
B
A
R
Ç
=
Ç
.
Решение. Доказательство проведем в виде двух включений, объеди-
нив их одной записью. Пусть
(
)
Û
Í
Í
Û
Ç
Í
Û
Ç
Î
B
C
A
C
B
A
C
B
A
R
C
,
(
)
(
)
(
)
(
)
B
R
A
R
C
B
R
C
A
R
C
Ç
Î
Û
Î
Î
Û
, . 
                                 � � � � �K \ � � .

      Пример 6. Докажите, что условие � � � равносильно каждому из
следующих условий:
                         1) � � � � � ; 2) � � � � � .
      Решение. Докажем, что � � � равносильно условию 1).
      Итак, пусть � � � , докажем равенство � � � � � . Равенство будем
доказывать в два включения. Пусть
                              x�� �� � x�� .
      Обратно, пусть
                    x � � � ��� x � � , x � � � x � � � � .
      Теперь предположим, что выполнено условие 1), докажем, что
� � � . Рассмотрим
                       x � � � � �� � � x � � � � � x � � .
      Равносильность условия � � � условию 1) мы доказали, равносиль-
ность условию 2) докажите самостоятельно.

      Пример 7. Докажите для произвольных множеств �� �� � :
      1) если � � � и � � � � � , то � � � � � � � ;
      2) если � � � � � и � � � � � , то � \ � � � .
      Решение.
      1) Нам нужно доказать, что существует хотя бы один элемент x � та-
кой, что x � � � � � , x � � � � � . Нам известно, что � � � , поэтому суще-
ствует некоторый элемент x * � � и x * � � . В силу условия � � � � � ,
данный элемент x * � � . Таким образом, x * � � � � , x * � � � � .
       2) Нам нужно доказать, что существует хотя бы один элемент в мно-
жестве � \ � . Известно, что � � � � � , поэтому существует элемент
x * � � , x * � � , причем, в силу условия � � � � � , данный элемент
x * � � . Итак, мы построили элемент x * � � и x * � � .

     Пример 8. Докажите, что для произвольных множеств �� � спра-
ведливо равенство � �� � � � � � �� � � � �� � .
     Решение. Доказательство проведем в виде двух включений, объеди-
нив их одной записью. Пусть
      � � � �� � � � � � � � � � � � � � , � � � �
      � � � � �� �, � � � �� � � � � � �� � � � �� � .




                                      8

Страницы