Дискретная математика. Элементы теории, задачи и упражнения. Часть 1. Булгакова И.Н. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

39
29. Из группы, состоящей из 7 мужчин и 4 женщин, надо выбрать 6
человек так, чтобы среди них было не менее двух женщин. Сколькими
способами это можно сделать?
Ответ: 371.
30. Сколькими способами можно выбрать 12 человек из 17, если дан-
ные двое человек из этих 17 не могут быть выбраны вместе?
Ответ:
10
15
12
17
CC
-
.
31. Найти натуральное число n, удовлетворяющее уравнению
5
n
C
=
5
1
2
-n
C
.
Ответ:
10
=
n
.
32. Доказать следующие свойства биномиальных коэффициентов:
а)
k
n
C
=
kn
n
C
-
(k=1…n);
б)
k
n
C
=
1
1
-
-
k
n
C
+
k
n
C
1-
;
в)
k
n
C
´
km
kn
C
-
-
=
k
m
C
´
m
n
C
;
г)
å
=
n
k 0
k
n
C
=2
n
;
д)
å
=
n
k 0
(-1)
k
k
n
C
=0;
е)
å
=
n
k 0
k
n
C
2
=
å
=
n
k 0
12 +k
n
C
.
Перестановки. Подсчет числа беспорядков
Перестановки с повторениями. Рассмотрим задачу: Имеются
предметы к различных видов. Сколько различных комбинаций (перестано-
вок) можно сделать из п
1
предметов 1-го вида, n
2
предметов 2-го вида,...,
п
k
предметов k-го вида? Число предметов в каждой перестановке
n=n
1
+n
2
+...+n
k
. Такие комбинации называются перестановками с повто-
рениями. Их число обозначается P(n
1
,n
2
,...,n
k
) и вычисляется по формуле
Р(n
1
,n
2
,...,n
k
) =
!!...!
!
21 k
nnn
n
(7)
Пример 13. Сколькими способами можно расположить в ряд 5 чер-
ных, 4 белых и 3 красных фишки? 
     29. Из группы, состоящей из 7 мужчин и 4 женщин, надо выбрать 6
человек так, чтобы среди них было не менее двух женщин. Сколькими
способами это можно сделать?
     Ответ: 371.

     30. Сколькими способами можно выбрать 12 человек из 17, если дан-
ные двое человек из этих 17 не могут быть выбраны вместе?
     Ответ: C 1712 � C 1510 .

     31. Найти натуральное число n, удовлетворяющее уравнению
                                                 C n5 = 2Cn5�1 .
     Ответ: n � 10 .

     32. Доказать следующие свойства биномиальных коэффициентов:
                        n�k
     а) C n = Cn
          k
                                (k=1…n);
          k    k �1    k
     б) C n = Cn�1 + C n�1 ;
                         m� k        k
     в) Cn � Cn�k = Cm � C n ;
                 k                         m

           n
     г)   �
          k �0
                     C nk =2n;
                                k
                     (-1)k Cn =0;
           n
     д)   �
          k �0
           n 2k     2k �1       n
     е)   � Cn = � Cn .
          k �0                k �0




                        Перестановки. Подсчет числа беспорядков

      Перестановки с повторениями. Рассмотрим задачу: Имеются
предметы к различных видов. Сколько различных комбинаций (перестано-
вок) можно сделать из п1 предметов 1-го вида, n2 предметов 2-го вида,...,
пk предметов k-го вида? Число предметов в каждой перестановке
n=n1+n2+...+nk. Такие комбинации называются перестановками с повто-
рениями. Их число обозначается P(n1,n2,...,nk) и вычисляется по формуле
                                                                        n!
                                               Р(n1,n2,...,nk) =                     (7)
                                                                   n1! n2 !...nk !

      Пример 13. Сколькими способами можно расположить в ряд 5 чер-
ных, 4 белых и 3 красных фишки?
                                                      39

Страницы