Дискретная математика. Элементы теории, задачи и упражнения. Часть 1. Булгакова И.Н. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

42
41. Сколько существует вариантов того, что три человека, сдавшие
свои шляпы в гардероб, не получат в точности свою шляпу?
Ответ:
2
=
N
.
42. Четыре человека сдают свои шляпы в гардероб. Предполагая, что
шляпы возвращаются наугад, найти число случаев и вероятность того, что
в точности k человек получат свои шляпы. Рассмотреть все значения
k (k = 0, 1, 2, 3, 4 ).
Ответ: Имеем 9, 8, 6, 0, 1 случаев с вероятностями
3111
,,,0,
83424
соответственно.
Замечание. Вероятность равна числу Р(А) =
n
m
, где n – общее число
комбинаций, т – число «благоприятных» комбинаций.
2.3 Формула включений и исключений
Пусть имеется N предметов и п свойств a
1
, a
2
, …, a
n
. Каждый из рас-
сматриваемых предметов может обладать одним или несколькими из этих
n свойств. Обозначим через N(a
i1
, a
i2
, …, a
is
) число предметов, обладающих
свойствами a
i1
, a
i2
, … , a
is
(и, быть может, некоторыми другими), а через
N( a
1
, a
2
,…, a
n
) – число предметов, не обладающих свойствами a
i1
, a
i2
, …, a
is
.
Например, N(a
1
, a
3
, a
4
) – число предметов, обладающих свойствами
a
1
, a
3
, но не обладающих свойством a
4.
Справедлива формула
N( a
1
, a
2
,…, a
n
) = N – N(a
1
) – N(a
2
) – …– N(a
n
) + N(a
1
, a
2
) +
+ N(a
1
, a
3
) +…+ N(a
1
, a
n
) +…+ N(a
n–1
, a
n
) – N(a
1
, a
2
, a
3
) –…– (9)
– N(a
n–2
, a
–1
, a
n
) +…+ (–1)
n
N(a
1
, a
2
, … , a
n
).
Формула (9) нaзывaeтcя формулой включений и исключений. Здесь
слагаемые включают все комбинации свойств a
1
,a
2
,…,a
n
без учёта их по-
рядка; знак «+» ставится, если число учитываемых свойств чётно, и знак
« – », если это число нечётно.
Пример 14. В результате опроса 70 студентов выяснилось, что 45 из
них занимаются спортом, 29 – музыкой, 9 – и спортом, и музыкой. Сколько
студентов из числа опрошенных не занимаются ни спортом, ни музыкой.
Решение. Чтобы применить формулу (9), обозначим через a
1
(a
2
) –
свойство студента, состоящее в том, что он занимается спортом (музыкой). 
     41. Сколько существует вариантов того, что три человека, сдавшие
свои шляпы в гардероб, не получат в точности свою шляпу?
      Ответ: N � 2 .

       42. Четыре человека сдают свои шляпы в гардероб. Предполагая, что
шляпы возвращаются наугад, найти число случаев и вероятность того, что
в точности k человек получат свои шляпы. Рассмотреть все значения
k (k = 0, 1, 2, 3, 4 ).
                                                                  3 1 1     1
      Ответ: Имеем 9, 8, 6, 0, 1 случаев с вероятностями           , , , 0,
                                                                  8 3 4     24
соответственно.
                                                       m
      Замечание. Вероятность равна числу Р(А) =          , где n – общее число
                                                       n
комбинаций, т – число «благоприятных» комбинаций.


                  2.3 Формула включений и исключений

        Пусть имеется N предметов и п свойств a1, a2, …, an. Каждый из рас-
сматриваемых предметов может обладать одним или несколькими из этих
n свойств. Обозначим через N(ai1, ai2, …, ais) число предметов, обладающих
свойствами ai1, ai2, … , ais (и, быть может, некоторыми другими), а через
N( a 1, a 2,…, a n) – число предметов, не обладающих свойствами ai1, ai2, …, ais.
        Например, N(a1, a3, a 4) – число предметов, обладающих свойствами
a1, a3, но не обладающих свойством a4.
        Справедлива формула
        N( a 1, a 2,…, a n) = N – N(a1) – N(a2) – …– N(an) + N(a1 , a2) +
        + N(a1 , a3) +…+ N(a1 , an) +…+ N(an–1 , an) – N(a1 , a2 , a3) –…–  (9)
                                      n
        – N(an–2, a–1, an) +…+ (–1) N(a1, a2, … , an).
        Формула (9) нaзывaeтcя формулой включений и исключений. Здесь
слагаемые включают все комбинации свойств a1,a2,…,an без учёта их по-
рядка; знак «+» ставится, если число учитываемых свойств чётно, и знак
 « – », если это число нечётно.

      Пример 14. В результате опроса 70 студентов выяснилось, что 45 из
них занимаются спортом, 29 – музыкой, 9 – и спортом, и музыкой. Сколько
студентов из числа опрошенных не занимаются ни спортом, ни музыкой.
      Решение. Чтобы применить формулу (9), обозначим через a1(a2) –
свойство студента, состоящее в том, что он занимается спортом (музыкой).


                                       42

Страницы