Дискретная математика. Элементы теории, задачи и упражнения. Часть 1. Булгакова И.Н. - 54 стр.

UptoLike

Составители: 

54
3. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
При решении многих комбинаторных задач часто пользуются мето-
дом сведения данной задачи к задаче, касающейся меньшего числа пред-
метов. Метод сведения к аналогичной задаче для меньшего числа пред-
метов называется методом рекуррентных соотношений. Пользуясь
рекуррентными соотношениями, можно свести задачу об
n
предметах к
задаче об
1
-
n
предметах, потом к задаче об
2
-
n
предметах и т.д. После-
довательно уменьшая число предметов, доходим до задачи, которую уже
легко решить.
В книге «Liber Abaci» итальянский математик Фибоначчи среди мно-
гих других задач привел следующую: пара кроликов приносит раз в месяц
приплод из двух крольчат (самки и самца), причем новорожденные крольчата
через два месяца после рождения уже приносят приплод. Сколько кроликов
появится через год, если в начале года была одна пара кроликов?
Из условия задачи следует, что через месяц будет две пары кроликов.
Через два месяца приплод даст только первая пара кроликов, и получится 3
пары. А еще через месяц приплод дадут и исходная пара, и пара кроликов,
появившаяся два месяца тому назад. Поэтому всего будет 5 пар кроликов.
Обозначим через )n(F количество пар кроликов по истечении
n
ме-
сяцев с начала года. Мы видим, что через
1
+
n
месяцев будет )n(F и еще
столько новорожденных пар кроликов, сколько было в конце месяца
1
-
n
,
то есть еще )n(F 1
-
пар кроликов. Иными словами, имеет место рекур-
рентное соотношение
).n(F)n(F)n(F 11
-
+
=
+
Так как по условию 10
=
)(F и 21
=
)(F , то последовательно находим
845332
=
=
=
)(F,)(F,)(F и т.д.
Числа )n(F называются числами Фибоначчи.
3.1 Решение рекуррентных соотношений
Будем говорить, что рекуррентное соотношение имеет порядок
k
,
если оно позволяет выразить
(
)
knf
+
через
(
)
(
)
(
)
11
-
+
+
knf,,nf,nf
K
.
Например,
(
)
(
)
(
)
(
)
11312
2
++-+=+ nfnfnfnf рекуррентное соотношение
второго порядка, а
(
)
(
)
(
)
(
)
1263
+
+
+
=
+
nfnfnfnf
рекуррентное соотношение третьего порядка.
Если задано рекуррентное соотношение
k
-го порядка, то ему удов-
летворяет бесконечно много последовательностей. Дело в том, что первые