Дискретная математика. Элементы теории, задачи и упражнения. Часть 1. Булгакова И.Н. - 57 стр.

UptoLike

Составители: 

57
Пусть дано рекуррентное соотношение
12
(2)(1)().
fnafnafn
+=++
Составим квадратное уравнение
21
2
arar += , (4)
которое называется характеристическим для данного соотношения.
Если это уравнение имеет два различных корня
1
r и
2
r , то общее реше-
ние рекуррентного соотношения имеет вид
2
22
1
11
--
+=
nn
rCrC)n(f .
Действительно, по утверждению 2)
1
11
-
=
n
r)n(f и
1
22
-
=
n
r)n(f явля-
ются решениями нашего соотношения. По утверждению 1) и
2
22
1
11
--
+=
nn
rCrC)n(f является его решением. Надо показать, что любое
решение соотношения можно записать в этом виде. Но любое решение ли-
нейного рекуррентного соотношения второго порядка определяется значе-
ниями )(f 1 и )(f 2 . Поэтому достаточно показать, что система уравнений
î
í
ì
=+
=+
brCrC
aCC
2211
21
имеет решение при любых
a
и
b
. Этими решениями являются
.
rr
bar
C,
rr
arb
C
21
1
2
21
2
1
-
-
=
-
-
=
Случай, когда оба корня уравнения
21
2
arar += совпадают друг с
другом, мы разберем несколько позже. Рассмотрим пример.
При изучении чисел Фибоначчи мы пришли к рекуррентному соот-
ношению
)n(f)n(f)n(f 21
-
+
-
=
.
Для него характеристическое уравнение имеет вид
1
2
+
=
r
r
.
Корнями этого квадратного уравнения являются числа
.r,r
2
51
2
51
11
-
=
+
=
Поэтому общее решение соотношения Фибоначчи имеет вид
nn
CC)n(f
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
=
2
51
2
51
21
.