Дискретная математика. Элементы теории, задачи и упражнения. Часть 1. Булгакова И.Н. - 58 стр.

UptoLike

Составители: 

58
3.3 Случай равных корней характеристического уравнения
Остановимся теперь на случае, когда оба корня характеристического
уравнения совпадают:
21
rr
=
. В этом случае выражение
1
22
1
11
--
+
nn
rCrC
уже не будет общим решением. Ведь из-за того, что
21
rr
=
, это решение
можно записать в виде
(
)
(
)
.CrrCCnf
nn 1
1
1
121
=-
=+=
У нас остается только одно произвольное постоянное
C
, и выбрать
его так, чтобы удовлетворить двум начальным условиям
(
)
(
)
bf,af
=
=
21 ,
вообще говоря, невозможно.
Поэтому надо найти какое-нибудь второе решение отличное от
(
)
1
11
-
=
n
rnf . Оказывается, таким решением является
(
)
1
12
-
=
n
nrnf . В самом
деле, если квадратное уравнение
21
2
arar += имеет два совпадающих
корня
21
rr
=
, то по теореме Виета
2
1211
2 ra,ra -== . Поэтому наше урав-
нение записывается так:
2
11
2
2 rrrr -= .
Тогда рекуррентное соотношение имеет такой вид:
(
)
(
)
(
)
nfrnfrnf
2
11
122 -+=+ . (5)
Проверим, что
(
)
1
12
-
=
n
nrnf действительно является его решением.
Имеем
(
)
(
)
1
12
22
+
+=+
n
rnnf , а
(
)
(
)
n
rnnf
12
11 +=+ . Подставляя эти значе-
ния в соотношение (4), получаем очевидное тождество
(
)
(
)
1
1
1
1
1
1
122
+++
-+=+
nnn
nrrnrn .
Значит,
1
1
-n
nr решение нашего соотношения.
Теперь уже знаем два решения
(
)
1
11
-
=
n
rnf и
(
)
1
12
-
=
n
nrnf заданного
соотношения. Его общее решение пишется так:
(
)
(
)
nCCrnrCrCnf
n
r
nn
21
11
12
1
11
+=+=
---
.
Путем подбора
1
C и
2
C можно удовлетворить любым начальным ус-
ловиям.
Линейные рекуррентные соотношения с постоянными коэффициен-
тами, порядок которых больше двух, решаются таким же способом. Пусть
соотношение имеет вид
(
)
(
)
(
)
nfaknfaknf
k
+
+
-
+
=
+
K
1
1
.
Составляем характеристическое уравнение
k
kk
arar ++=
-
K
1
1
.
Если все корни
k
r,,r
K
1
этого алгебраического уравнения
k
-й степе-
ни различны, то общее решение имеет вид
(
)
11
22
1
11
---
+++=
n
kk
nn
rCrCrCnf
K
.