Расчет статически определимых ферм в среде MathCAD. Бундаев В.В. - 2 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

3
1. Описание матричного алгоритма для расчета ферм
В элементах фермы действует только продольная сила
e
N ,
постоянная по длине каждого стержня N
e
= N
ен
= N
ек
(рис.1,а).
Поэтому матричный алгоритм, описанный для рамы в [1], не-
сколько упрощается в приложении к расчету фермы.
Установим связи между усилиями, действующими на кон-
цы стержня е фермы, в местной
уох
(рис.1,а) и общей хоу
(рис.1,б) системах координат
б)
Рис.1
Очевидно, что
);sin();sin(
);cos();cos(
αα
α
α
eеkeен
eеkeен
NYNY
NXNX
==
=
=
Здесь индексы «н» и «к » относятся соответственно к началу и
концу стержня.
В матричной записи эти соотношения имеют вид
;
eфен
NFХ
ρ
ρ
= ;
eфеk
NFХ
ρ
ρ
=
(1)
где
;
)sin(
)cos(
=
α
α
ф
F
ρ
=
ен
ен
ен
Y
X
X
ρ
=
ek
ek
ек
Y
X
X
ρ
О
N
eн
е
х
/
х
у
у
/
N
ek
а)
α
х
е
Y
ek
X
ek
Y
ен
Х
ен
у
0
4
Установим теперь связь усилий в j-м узле фермы, где схо-
дятся n
j
стержней. Пусть
[
]
T
yjxjj
PPP =
- вектор внешней на-
грузки, приложенный к узлу j, а
[
]
T
eee
YXX =
ρ
- вектор уси-
лий на конце стержня е, примыкающего к рассматриваемому
узлу. Тогда условие равновесия узла j записывается в виде:
=
=
j
n
e
ej
XP
1
ρ
ρ
(2)
Далее перейдем к составлению уравнений равновесия для
всей системы в целом. Обозначим через
[
]
T
ce
YYYYY
ρ
Λ
ρ
Λ
ρ
ρ
ρ
21
=
вектор внутренних усилий в
стержнях фермы. Компоненты этого вектора выражаются через
векторы усилий для концевых сечений каждого стержня в виде
равенств
ekенe
XXY
ρ
ρ
ρ
==
.
Связь между вектором внешних нагрузок
[
]
T
yj
PPPPP
ρ
Λ
ρ
Λ
ρ
ρ
ρ
21
=
и вектором Y
ρ
представляет
собой объединение в одно матричное соотношение уравнений
равновесия (2) всех узлов фермы с помощью структурной мат-
рицы
c
S
:
.YSP
c
ρ
ρ
=
Учитывая формулы (1), это соотношение можно записать в
виде
NSP
ρ
ρ
*
=
(3)
где
[
]
T
ce
NNNNN ΛΛ
ρ
21
=
- вектор усилий в
стержнях фермы.
Матрица
*
S получается из структурной матрицы
с
S
за-
меной элементов «1» на векторы
ф
F
ρ
, элементов «-1» на векторы
-
ф
F
ρ
, а элементов «0» - на нулевые векторы
[
]
Т
00
.
                                             3                                                                                        4

    1. Описание матричного алгоритма для расчета ферм                                         Установим теперь связь усилий в j-м узле фермы, где схо-
                                                                                                                 ϖ
      В элементах фермы действует только продольная сила N e ,                                                                 T
                                                                                                                                      [        ]
                                                                                        дятся nj стержней. Пусть Pj = Pxj Pyj - вектор внешней на-
постоянная по длине каждого стержня Ne = Nен= Nек (рис.1,а).                                                            ρ
                                                                                        грузки, приложенный к узлу j, а X e = [ X e                   Ye ] - вектор уси-
                                                                                                                                                        T
Поэтому матричный алгоритм, описанный для рамы в [1], не-
сколько упрощается в приложении к расчету фермы.                                        лий на конце стержня е, примыкающего к рассматриваемому
      Установим связи между усилиями, действующими на кон-                              узлу. Тогда условие равновесия узла j записывается в виде:
цы стержня е фермы, в местной х ′оу ′ (рис.1,а) и общей хоу                                                          ρ    nj
                                                                                                                             ρ
(рис.1,б) системах координат
                                                                                                                     Pj = ∑ X e                                   (2)
                                                                                                                           e =1
     а)                        б)
                                                                                                   Далее перейдем к составлению уравнений равновесия для
                                                                                        всей          системы      в      целом.    Обозначим      через
                                                                                        ρ ρ ρ                   ρ          ρ
               у                                           у
                                                                                               [
                                                                                        Y = Y1 Y2          Λ    Ye     Λ   Yc     ]
                                                                                                                                  T
                                                                                                                      вектор внутренних усилий в
                                                                      Yek               стержнях фермы. Компоненты этого вектора выражаются через
      у/
                                   х/                            е                      векторы усилий для концевых сечений каждого стержня в виде
                                                                                        равенств
                   е            Nek              Хен                          Xek                                      ρ ρ           ρ
                                                                                                                       Ye = X ен = − X ek .
Neн                    α                х
                                                       0   Yен                     х               Связь       между       вектором                внешних     нагрузок
                                                                                        ρ ρ           ρ         ρ           ρ                        ρ
           О
                                            Рис.1
                                                                                        P = P1 [      P2 Λ      Pj Λ        Py    ]   T
                                                                                                                                          и вектором Y представляет
Очевидно, что                                                                           собой объединение в одно матричное соотношение уравнений
           X ен = − N e cos(α );                       X еk = N e cos(α );              равновесия (2) всех узлов фермы с помощью структурной мат-
                                                                                        рицы S c :
           Yен = − N e sin(α );                        Yеk = N e sin(α );                                                   ρ      ρ
Здесь индексы «н» и «к » относятся соответственно к началу и                                                                P = S cY .
концу стержня.                                                                                     Учитывая формулы (1), это соотношение можно записать в
           В матричной записи эти соотношения имеют вид                                 виде
                                                                                                                       ρ       ρ
                                                                                                                       P = −S* N                                (3)
            ρ        ρ                              ρ      ρ                                       ρ
                                                                                                   N = [N1
                                                                                                        N 2 Λ N e Λ N c ] - вектор усилий в
            Х ен = − Fф N e ;                       Х еk = Fф N e ;               (1)                                                          T
                                                                                        где
где                                                                                     стержнях фермы.
      ρ cos(α )                     ρ      X                 ρ      X                  Матрица S * получается из структурной матрицы S с за-
      Fф =          ;               X ен =  ен               X ек =  ek                                                             ρ
            sin(α )                         Yен                      Yek          меной элементов «1» на векторы Fф , элементов «-1» на векторы
                                                                                         ρ
                                                                                        - Fф , а элементов «0» - на нулевые векторы [0                 0] .
                                                                                                                                                         Т