ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3
1. Описание матричного алгоритма для расчета ферм
В элементах фермы действует только продольная сила
e
N ,
постоянная по длине каждого стержня N
e
= N
ен
= N
ек
(рис.1,а).
Поэтому матричный алгоритм, описанный для рамы в [1], не-
сколько упрощается в приложении к расчету фермы.
Установим связи между усилиями, действующими на кон-
цы стержня е фермы, в местной
уох
′
′
(рис.1,а) и общей хоу
(рис.1,б) системах координат
б)
Рис.1
Очевидно, что
);sin();sin(
);cos();cos(
αα
α
α
eеkeен
eеkeен
NYNY
NXNX
=−=
=
−=
Здесь индексы «н» и «к » относятся соответственно к началу и
концу стержня.
В матричной записи эти соотношения имеют вид
;
eфен
NFХ
ρ
ρ
−= ;
eфеk
NFХ
ρ
ρ
=
(1)
где
;
)sin(
)cos(
=
α
α
ф
F
ρ
=
ен
ен
ен
Y
X
X
ρ
=
ek
ek
ек
Y
X
X
ρ
О
N
eн
е
х
/
х
у
у
/
N
ek
а)
α
х
е
Y
ek
X
ek
Y
ен
Х
ен
у
0
4
Установим теперь связь усилий в j-м узле фермы, где схо-
дятся n
j
стержней. Пусть
[
]
T
yjxjj
PPP =
ϖ
- вектор внешней на-
грузки, приложенный к узлу j, а
[
]
T
eee
YXX =
ρ
- вектор уси-
лий на конце стержня е, примыкающего к рассматриваемому
узлу. Тогда условие равновесия узла j записывается в виде:
∑
=
=
j
n
e
ej
XP
1
ρ
ρ
(2)
Далее перейдем к составлению уравнений равновесия для
всей системы в целом. Обозначим через
[
]
T
ce
YYYYY
ρ
Λ
ρ
Λ
ρ
ρ
ρ
21
=
вектор внутренних усилий в
стержнях фермы. Компоненты этого вектора выражаются через
векторы усилий для концевых сечений каждого стержня в виде
равенств
ekенe
XXY
ρ
ρ
ρ
−==
.
Связь между вектором внешних нагрузок
[
]
T
yj
PPPPP
ρ
Λ
ρ
Λ
ρ
ρ
ρ
21
=
и вектором Y
ρ
представляет
собой объединение в одно матричное соотношение уравнений
равновесия (2) всех узлов фермы с помощью структурной мат-
рицы
c
S
:
.YSP
c
ρ
ρ
=
Учитывая формулы (1), это соотношение можно записать в
виде
NSP
ρ
ρ
*
−=
(3)
где
[
]
T
ce
NNNNN ΛΛ
ρ
21
=
- вектор усилий в
стержнях фермы.
Матрица
*
S получается из структурной матрицы
с
S
за-
меной элементов «1» на векторы
ф
F
ρ
, элементов «-1» на векторы
-
ф
F
ρ
, а элементов «0» - на нулевые векторы
[
]
Т
00
.
3 4
1. Описание матричного алгоритма для расчета ферм Установим теперь связь усилий в j-м узле фермы, где схо-
ϖ
В элементах фермы действует только продольная сила N e , T
[ ]
дятся nj стержней. Пусть Pj = Pxj Pyj - вектор внешней на-
постоянная по длине каждого стержня Ne = Nен= Nек (рис.1,а). ρ
грузки, приложенный к узлу j, а X e = [ X e Ye ] - вектор уси-
T
Поэтому матричный алгоритм, описанный для рамы в [1], не-
сколько упрощается в приложении к расчету фермы. лий на конце стержня е, примыкающего к рассматриваемому
Установим связи между усилиями, действующими на кон- узлу. Тогда условие равновесия узла j записывается в виде:
цы стержня е фермы, в местной х ′оу ′ (рис.1,а) и общей хоу ρ nj
ρ
(рис.1,б) системах координат
Pj = ∑ X e (2)
e =1
а) б)
Далее перейдем к составлению уравнений равновесия для
всей системы в целом. Обозначим через
ρ ρ ρ ρ ρ
у у
[
Y = Y1 Y2 Λ Ye Λ Yc ]
T
вектор внутренних усилий в
Yek стержнях фермы. Компоненты этого вектора выражаются через
у/
х/ е векторы усилий для концевых сечений каждого стержня в виде
равенств
е Nek Хен Xek ρ ρ ρ
Ye = X ен = − X ek .
Neн α х
0 Yен х Связь между вектором внешних нагрузок
ρ ρ ρ ρ ρ ρ
О
Рис.1
P = P1 [ P2 Λ Pj Λ Py ] T
и вектором Y представляет
Очевидно, что собой объединение в одно матричное соотношение уравнений
X ен = − N e cos(α ); X еk = N e cos(α ); равновесия (2) всех узлов фермы с помощью структурной мат-
рицы S c :
Yен = − N e sin(α ); Yеk = N e sin(α ); ρ ρ
Здесь индексы «н» и «к » относятся соответственно к началу и P = S cY .
концу стержня. Учитывая формулы (1), это соотношение можно записать в
В матричной записи эти соотношения имеют вид виде
ρ ρ
P = −S* N (3)
ρ ρ ρ ρ ρ
N = [N1
N 2 Λ N e Λ N c ] - вектор усилий в
Х ен = − Fф N e ; Х еk = Fф N e ; (1) T
где
где стержнях фермы.
ρ cos(α ) ρ X ρ X Матрица S * получается из структурной матрицы S с за-
Fф = ; X ен = ен X ек = ek ρ
sin(α ) Yен Yek меной элементов «1» на векторы Fф , элементов «-1» на векторы
ρ
- Fф , а элементов «0» - на нулевые векторы [0 0] .
Т
