ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
7
лежит в первом квадранте плоскости х
1
ох
2
(рис.3.1). Если в пер-
вом неравенстве системы (3.2) заменить знак « ≤ » на знак « = »,
то получим уравнение прямой линии 12 0,2·х 0,1·х
21
=
+
. Эта
прямая (прямая 1) делит плоскость х
1
ох
2
на две полуплоскости
так, что для одной из них выполнено неравенство
12 0,2·х 0,1·х
21
>+ , а для другой - 12 0,2·х 0,1·х
21
<
+
. Непо-
средственной подстановкой точки (0,0) в левую часть уравнения
прямой убеждаемся в том, что начало координат лежит в полу-
плоскости, удовлетворяющей требуемому ограничению
12 0,2·х 0,1·х
21
≤
+
, т.е. допустимой для этого ограничения яв-
ляется полуплоскость, содержащая точку (0,0). Точно также оп-
ределим полуплоскости для остальных ограничений системы
(3.2) (прямые 2 и 3). В результате получим выпуклый много-
угольник ОАВСД, который называется областью допустимых
решений системы (3.2) (см. рис.3.1).
Рис.3.1
8
Любая точка (x
1
, x
2
), лежащая в этом многоугольнике, опре-
деляет количество изделий А
1
и А
2
, обеспечивающих необхо-
димые суточные затраты времени в цехах В
1
, В
2
и В
3
. Из множе-
ства этих точек надо выбрать такую, в которой целевая функция
F (3.1) достигает своего максимального значения.
Для некоторого фиксированного значения F
*
линейная
функция F = 65·x
1
+ 80·x
2
представляет собой прямую линию.
Задаваясь различными значениями F
*
(например, 0,1,2 и т.д.),
получим семейство параллельных прямых – линий уровня функ-
ции F. Увеличению значений F соответствует перемещение ука-
занной прямой параллельно самой себе вверх по направлению
вектора
=
∂
∂
∂
∂
80
65
2
1
x
F
x
F
Из рис.3.1 видно, что максимальное значение функции F на
допустимом множестве точек OABCD соответствует прямой,
проходящей через точку В пересечения прямых 0,1·x
1
+ 0,2· x
2
=
12 и 0,3·x
1
+ 0,3· x
2
= 21. Координаты точки В: х
1
= 20, х
2
= 50 -
дают оптимальное решение исходной задачи (1) – (3), при этом
F
max
= 65·20 + 80·50 = 5300.
Таким образом, фирме в сутки необходимо изготовить 20
изделий А
1
и 50 изделий А
2
, чтобы получить наибольшую при-
быль 5300 у.е. Для сравнения отметим, что если бы фирма изго-
тавливала только изделие А
1
, то ей пришлось бы изготавливать
50 штук этого изделия , получив при этом наибольшую прибыль
F = 50·65 = 3250 у.е., а при изготовлении только изделия А
2
- 60
штук, что дало бы F = 80·60 = 4800 у.е. прибыли.
Анализируя графическое решение задачи (3.1)-(3.3), можно
убедиться, что при других значениях коэффициентов целевой
функции F (3.3) оптимальное решение может достигаться в дру-
гих вершинах многоугольника OABCD (см. рис.3.1) или на пря-
мых, являющихся его границами, если прямая F = с
1
·x
1
+ с
2
·x
2
,
параллельна этим границам.
7 8
лежит в первом квадранте плоскости х1ох2 (рис.3.1). Если в пер- Любая точка (x1, x2), лежащая в этом многоугольнике, опре-
вом неравенстве системы (3.2) заменить знак « ≤ » на знак « = », деляет количество изделий А1 и А2 , обеспечивающих необхо-
то получим уравнение прямой линии 0,1·х1 + 0,2·х 2 = 12 . Эта димые суточные затраты времени в цехах В1, В2 и В3. Из множе-
прямая (прямая 1) делит плоскость х1ох2 на две полуплоскости ства этих точек надо выбрать такую, в которой целевая функция
так, что для одной из них выполнено неравенство F (3.1) достигает своего максимального значения.
Для некоторого фиксированного значения F* линейная
0,1·х1 + 0,2·х 2 > 12 , а для другой - 0,1·х1 + 0,2·х 2 < 12 . Непо-
функция F = 65·x1 + 80·x2 представляет собой прямую линию.
средственной подстановкой точки (0,0) в левую часть уравнения Задаваясь различными значениями F* (например, 0,1,2 и т.д.),
прямой убеждаемся в том, что начало координат лежит в полу- получим семейство параллельных прямых – линий уровня функ-
плоскости, удовлетворяющей требуемому ограничению ции F. Увеличению значений F соответствует перемещение ука-
0,1·х1 + 0,2·х 2 ≤ 12 , т.е. допустимой для этого ограничения яв- занной прямой параллельно самой себе вверх по направлению
ляется полуплоскость, содержащая точку (0,0). Точно также оп- вектора
ределим полуплоскости для остальных ограничений системы ∂F
(3.2) (прямые 2 и 3). В результате получим выпуклый много- ∂x 65
угольник ОАВСД, который называется областью допустимых 1=
решений системы (3.2) (см. рис.3.1). ∂F 80
∂x 2
Из рис.3.1 видно, что максимальное значение функции F на
допустимом множестве точек OABCD соответствует прямой,
проходящей через точку В пересечения прямых 0,1·x1 + 0,2· x2 =
12 и 0,3·x1 + 0,3· x2 = 21. Координаты точки В: х1 = 20, х2 = 50 -
дают оптимальное решение исходной задачи (1) – (3), при этом
Fmax = 65·20 + 80·50 = 5300.
Таким образом, фирме в сутки необходимо изготовить 20
изделий А1 и 50 изделий А2, чтобы получить наибольшую при-
быль 5300 у.е. Для сравнения отметим, что если бы фирма изго-
тавливала только изделие А1, то ей пришлось бы изготавливать
50 штук этого изделия , получив при этом наибольшую прибыль
F = 50·65 = 3250 у.е., а при изготовлении только изделия А2 - 60
штук, что дало бы F = 80·60 = 4800 у.е. прибыли.
Анализируя графическое решение задачи (3.1)-(3.3), можно
убедиться, что при других значениях коэффициентов целевой
функции F (3.3) оптимальное решение может достигаться в дру-
Рис.3.1 гих вершинах многоугольника OABCD (см. рис.3.1) или на пря-
мых, являющихся его границами, если прямая F = с1·x1 + с2·x2,
параллельна этим границам.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- …
- следующая ›
- последняя »
