Руководство к решению задач по механике твердого деформируемого тела матричными методами. Бундаев В.В. - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

123
между ними обеспечивается, как известно, матрицей жесткости
k
(e)
элемента е
)()()(
][
eee
ukR
ρ
ρ
⋅=
(3.18)
В дальнейшем там, где возможно, значок (е) будем опускать.
Прогиб балки w(x
/
) в произвольном ее сечении будем считать
функцией координаты x
/
в локальной системе осей ox
/
y
/
(рис.3.9,б).
,)(
3
4
2
321
xxxxw
′
+
′
+
′
+=
′
αααα
(3.19)
или в матричной форме
[
]
[
]
−=⋅
′′′
=
′
T
гдеxxxxw
4321
32
}{},{1)(
αααααα
вектор неизвестных коэффициентов.
Применяя равенство (3.19) для концевых узлов элемента
е,
неизвестные параметры α
1
, α
2,
α
3
, α
4
выразим через смещения
этих узлов u
1
и u
3
и углы u
2
u
4
поворота поперечных сечений,
проходящих через соответствующие узлы.
;
1323
;32)(
;)(;)0(;)0(
43
2
21
2
3
2
4324
3
4
2
32132211
u
l
u
l
u
l
u
l
lll
xd
dw
u
llllwu
xd
dw
uwu
−+−−=⇒++=
′
=
+++===
′
===
αααα
αααααα
4
2
3
3
2
2
1
3
4
1212
u
l
u
l
u
l
u
l
+−+=
α
Подставляя в (3.19) и выполняя преобразования, получим
∑
=
′
=
′
4
1
)()(
k
kk
xEuxw
(3.20)
где
124
;)(;23)(
;2)(;231)(
2
32
4
3
3
2
2
3
2
32
2
3
3
2
2
1
l
x
l
x
xE
l
x
l
x
xE
l
x
l
x
xxE
l
x
l
x
xE
′
+
′
−=
′
′
⋅−
′
⋅=
′
′
+
′
⋅−
′
=
′
′
⋅+
′
⋅−=
′
-функции перемещений, известные под названием функций Эр-
мита. Каждая из этих функций E
k
(x
/
) характеризует прогиб жест-
ко заделанной по концам балки при единичных смещениях по
направлению k (u
k
=1) (рис.3.10).
Рис. 3.10
Формулу (3.20) можно записать в матричном виде
[
]
uxNxw
ρ
⋅
′
=
′
)()(
(3.21)
где
[
]
)(xN
- матрица-строка, элементы которой являются функ-
циями локальной координаты х
/
[
]
[
]
)()()()()(
4321
xExExExExN
′
′
′
′
=
′
(3.22) 
                                      123                                                                                 124

между ними обеспечивается, как известно, матрицей жесткости                                            x′ 2       x′3                                x′ 2 x′3
k(e) элемента е                                                                   E1 ( x ′) = 1 − 3 ⋅       + 2 ⋅     ;         E 2 ( x ′) = x ′ − 2 ⋅     + 2 ;
                 ρ                   ρ                                                                 l2         l3                                   l     l
                 R ( e) = [k ](e ) ⋅ u ( e)          (3.18)
                                                                                                  x′ 2        x′3                              x′ 2
                                                                                                                                                     x′  3
                                                                                  E 3 ( x ′) = 3 ⋅ 2 − 2 ⋅ 3 ;                  E 4 ( x ′) = −      + 2 ;
                                                                                                   l          l                                 l     l
В дальнейшем там, где возможно, значок (е) будем опускать.
Прогиб балки w(x/) в произвольном ее сечении будем считать                    -функции перемещений, известные под названием функций Эр-
функцией координаты x/ в локальной системе осей ox/y/
(рис.3.9,б).                                                                  мита. Каждая из этих функций Ek(x/) характеризует прогиб жест-
             w ( x ′) = α 1 + α 2 x ′ + α 3 x ′ 2 + α 4 x ′ 3 ,     (3.19)    ко заделанной по концам балки при единичных смещениях по
или в матричной форме                                                         направлению k (uk=1) (рис.3.10).
        [                 ]
w( x′) = 1 x′ x′ 2 x′3 ⋅ {α},            где        {α} = [α1 α2 α3 α4 ] −
                                                                        T

вектор неизвестных коэффициентов.
       Применяя равенство (3.19) для концевых узлов элемента е,
неизвестные параметры α1, α2, α3, α4 выразим через смещения
этих узлов u1 и u3 и углы u2 u4 поворота поперечных сечений,
проходящих через соответствующие узлы.
                      dw
u1 = w(0) = α1;    u2 =   (0) = α2 ; u3 = w(l) = α1 + α2l + α3l 2 + α4l 3 ;
                      dx′
                                                                                                                   Рис. 3.10
    dw                                       3      2       3      1
u4 = (l) = α2 + 2α3l + 3α4l 2 ; ⇒ α3 = − 2 u1 − u2 + 2 u3 − u4 ;
    dx′                                     l       l      l       l
        2     1       2      1                                                     Формулу (3.20) можно записать в матричном виде
α4 =      u + 2 u 2 − 3 u3 + 2 u 4                                                                                             ρ
                                                                                                        w( x ′) = [N ( x ′)] ⋅ u
         3 1
       l     l       l      l                                                                                                                                (3.21)
       Подставляя в (3.19) и выполняя преобразования, получим
                                                                   (3.20)
                                                                              где [N (x ′)] - матрица-строка, элементы которой являются функ-
                                4
                     w( x ′) = ∑ u k E k ( x ′)
                               k =1
                                                                              циями локальной координаты х/
                                                                                    [N ( x′)] = [E1 ( x′)       E 2 ( x ′) E3 ( x ′) E 4 ( x ′)]             (3.22)
где

Страницы