Руководство к решению задач по механике твердого деформируемого тела матричными методами. Бундаев В.В. - 63 стр.

                                         125                                                                              126

      Запишем теперь дифференциальные зависимости для из-                                                       12  6l − 12 6l 
гиба балки постоянной жесткости EI в локальных координатах                                                      6l 4l 2 − 6l 2l 2 
                                                                                                    [k ] = EI3                    
                           d 2 w( x ′)            d 3 w( x ′)                                              l − 12 − 6l 12 − 6l                 (3.23)
               M = EI ⋅                ; Q = EI ⋅             ;                                                                   
                             dx ′ 2                 dx ′ 3                                                      6l 2l
                                                                                                                       2
                                                                                                                         − 6l 4l 2 
где М и Q – изгибающий момент и поперечная сила в сечении                                     Отметим, что элемент ki,j этой матрицы численно равен
балки, положительные направления которых показаны на                                     реактивному узловому усилию или моменту в балочном элемен-
                                                           /
рис.3.9,б. Так как на концах балки (при x =0 и l) изгибающий                             те в направлении i-й степени свободы при единичном смещении
момент и поперечная сила должны совпадать с их узловыми                                  в направлении j-й степени свободы (uj=1) (рис.3.10).
значениями, то с учетом их направлений можно записать                                             Определение статически эквивалентных узловых уси-
                        d 3w                                          d 2w                  лий
      R1 = Q (0) = EI ⋅        ( 0 );     R 2 =  − M ( 0 )  = − EI  ⋅        ( 0)
                        dx ′ 3                                        dx ′ 2                  Пусть на элемент е рамы действует положительная попе-
                            d 3w                                    d 2w                 речная распределенная нагрузка интенсивностью q(x/) (рис.3.11).
      R3 = −Q (l ) = − EI ⋅         (l );    R 4 = M  ( l ) = EI  ⋅         (l );
                            dx ′ 3                                  dx ′ 2
      Эти равенства с использованием формул (3.21) можно пе-
реписать в виде
                                  ρ                                     ρ
          R1 = EI ⋅ [N ′′′(0)] ⋅ u ;           R2 = − EI ⋅ [N ′′(0)] ⋅ u
                                    ρ                                  ρ
          R3 = − EI ⋅ [N ′′′(l )] ⋅ u ;         R4 = EI ⋅ [N ′′(l )] ⋅ u
      Сравнивая эти соотношения с уравнением (3.18), запишем                                                            Рис. 3.11

матрицу жесткости элемента в виде                                                                                   ρ
                                                                                              Тогда силовые факторы R q в узловых сечениях элемента,
                                  N ′′′(0)                                             эквивалентные этой нагрузке, можно определить с помощью
                                 − N ′′(0)                                             принципа возможных перемещений
                     [k ] = EI ⋅              
                                  − N ′′′(l ) 
                                                                                                            ρ ρ                                  (3.24)
                                                                                                                    l
                                              
                                  N ′′(l )                                                              δu T Rq + ∫ q (ξ ) ⋅ δw(ξ )dξ = 0
                                                                                                                    0
или   составляя        выражения           для     производных,            с    учетом
(3.20),(3.22) получим окончательно