Составители:
Рубрика:
Очевидно, к числу нульмерных клеток подразделения сферы
следует добавить 1 (ибо добавляется вершина 0), к числу одномер-
ных клеток нужно добавить 6 (шесть отрезков — радиусов шара,
исходящих из точки 0), к числу двумерных клеток следует доба-
вить 12 (двенадцать криволинейных треугольников, соответствую-
щих координатным плоскостям); наконец, появляется 8 трехмер-
ных клеток.
Итак, обозначая α
k
число k-мерных клеток нашего подразде-
ления шара B
3
, имеем
α
0
= 7, α
1
= 18, α
2
= 20, α
3
= 8.
Теперь по формуле (3.6) найдем эйлерову характеристику ша-
ра B
3
,
χ(B
3
) = 1. (3.11)
Поскольку число клеток размерности k не меняется при гомео-
морфных преобразованиях, то полученный результат справедлив
в общем случае, а именно: каково бы ни было конечное множество
G, гомеоморфное трехмерному шару для его правильного клеточ-
ного подразделения, справедлива формула
α
0
− α
1
+ α
2
− α
3
= 1, (3.12)
где α
k
— число k-мерных клеток рассматриваемого подразделения.
Аналогичные формулы можно получить для правильного кле-
точного подразделения тела, ограниченного поверхностью тора
и т. п.
Иногда удобно следующее утверждение.
Теорема 3.1. Эйлерова характеристика конечного трехмер-
ного тела равна половине эйлеровой характеристике ограничива-
ющей его поверхности. В частности, мы видели, что χ(B
3
) =
χ(S
2
)/2.
Заметим, что двумерное подразделение порождает двумерный
граф, состоящий из одномерных клеток (ребер) и нульмерных кле-
ток (вершин).
Кроме того, объявляя двумерные клетки вершинами и считая
смежные клетки смежными вершинами, получим граф, который
будем называть сопряженным графом подразделения.
119
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 116
- 117
- 118
- 119
- 120
- …
- следующая ›
- последняя »
