Составители:
Рубрика:
где l·u — скалярное произведение векторов l и u. Первое из равенств
(5.6) заведомо верно, ибо совпадает с (5.3), второе представляет со-
бой систему линейных уравнений с неособенной матрицей L
k
(см.
(5.4)); отсюда однозначно определяется вектор u. Третье из соотно-
шений (5.6) являются системой линейных алгебраических уравне-
ний относительно компонент вектора l; благодаря второй формуле
в (5.4) вектор l определяется однозначно. Таким образом, в (5.7) l
и u уже определены; поэтому имеем
u
k+1,k+1
= a
k+1 k+1
− l · u.
Если положить
L
k+1
=
µ
L
k
0
l 1
¶
, U
k+1
=
µ
U
k
u
0 u
k+1 k+1
¶
,
то (5.5) принимает вид
A
k+1
= L
k+1
U
k+1
.
Шаг индукции завершен; вместе с базой индукции это завершает
доказательство. Теорема доказана.
Замечание.С помощью метода индукции аналогичным обра-
зом нетрудно установить, что если матрица A — ленточная матри-
ца, удовлетворяющая условиям теоремы, то матрицы L и U также
можно рассматривать как ленточные, ширина ленты которых не
больше, чем ширина ленты у матрицы A. Если A — диагональная,
то L и U — тоже диагональные.
§ 6. Распараллеливание LU-разложения
трехдиагональной матрицы
Пусть решается система линейных алгебраических уравнений
с трехдиагональной матрицей A:
A =
a
11
a
12
0 . . . 0 0 0
a
21
a
22
a
23
. . . 0 0 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . a
k−1 k−2
a
k−1 k−1
a
k−1 k
0 0 0 . . . 0 a
k k−1
a
k k
.
34
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- …
- следующая ›
- последняя »
