Алгоритмы параллельных вычислений и программирование. Бурова И.Г - 32 стр.

UptoLike

Д о к а з а т е л ь с т в о. По условию теоремы
detA
k
6= 0, k = 1, 2, . . . , n. (5.1)
Доказательство теоремы проведём индукцией по k. При k = 1 оче-
видно
(a
11
) = (1) · (a
11
), (5.2)
так что рассматривая одноэлементные матрицы L
1
= (1), U
1
=
(a
11
), из (5.2) получим A
1
= L
1
U
1
. Итак, база индукции установле-
на.
Пусть теперь при некотором k, k {1, 2, . . . , n 1}, известно,
что
A
k
= L
k
U
k
, (5.3)
где L
k
= (l
(k)
ij
) нижнетреугольная матрица порядка k с единица-
ми на главной диагонали, а U
k
верхнетреугольная матрица того
же порядка, U
k
= (u
(k)
ij
). Ввиду определения матрицы L
k
имеем
detL
k
= 1, а из неравенства (5.1) и свойства detA
k
= detL
k
· detU
k
получаем detU
k
6= 0. Итак,
detL
k
= 1, detU
k
6= 0. (5.4)
Представим матрицу A
k+1
в клеточной форме
A
k+1
=
µ
A
k
b
a a
k+1 k+1
,
где a
k+1 k+1
элемент исходной матрицы A, a k-мерная вектор-
строка, b k-мерный вектор-столбец.
Будем находить k-мерную вектор-строку l и k-мерный вектор-
столбец u, а также элемент u
k+1,k+1
из уравнения
µ
L
k
0
l 1
µ
U
k
u
0 u
k+1 k+1
=
µ
A
k
b
a a
k+1 k+1
. (5.5)
Соотношения (5.5) эквивалентны равенствам
L
k
U
k
= A
k
, L
k
u = b, lU
k
= a, (5.6)
l · u + u
k+1 k+1
= a
k+1 k+1
, (5.7)
33