ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3
Примеры решения задач
Задача 1.
Найти сумму действительной и мнимой части комплексного числа:
Z=
+
+
1
2
19
5
i
i
Ответы: 1)-2; 2)1,5; 3)-0,5; 4)1; 5)0,5.
Решение:
Z=
+
+
1
2
19
5
i
i
=
2
1
2
+−
+
i
i
=
2
2
)1)(2(
++ ii
=
4
)31(
2
i+
= i5,12
+
−
Отсюда Rez=-2, Imz=1,5. Тогда сумма действительной и мнимой части
будет равна: -2+1,5=-0,5.
Правильный ответ №3.
Задача 2.
Представить в тригонометрической форме комплексное число:
Z=(1+i)
25
Ответы: 1) )
4
sin
4
(cos2
π
π
i+ ; 2) )
4
25sin
4
25(cos)2(
25
π
π
i+ ;
3) )
4
25sin
4
25(cos
π
π
i+ ; 4) )
4
25sin
4
25(cos)5(
25
π
π
i+ ;
5) )
4
5sin
4
5(cos)2(
25
π
π
i+
Решение:
Представим число 1+i в тригонометрической форме. Для этого находим
r= 2111
22
=+=+ i ;
2
1
sincos == ϕϕ
, т.е. r=
2
,
4
)1arg(
π
=+ i .
По формуле Муавра: )sin(cos ϕϕ ninrz
n
n
+= получаем:
(1+i)
25
=(
2
)
25
(cos25
4
π
+isin25
4
π
).
Правильный ответ №2.
Задача 3.
Определить, сколько корней имеет уравнение: x
6
-1=0.
Ответы: 1)1; 2)2; 3)0; 4)6; 5)5.
Решение:
x
6
-1=0, x
6
=1, x=
6
1
.
Представим число z=1 в алгебраической форме 1=1+0i и в
тригонометрической 1=1(cos0+isin0). Пользуясь формулой:
)
2
sin
2
(cos
n
k
i
n
k
rzz
nn
k
π
ϕ
π
ϕ
+
+
+
== , где 1,...,1,0
−
=
nk
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Примеры решения задач
Задача 1.
Найти сумму действительной и мнимой части комплексного числа:
i5 + 2
Z= 19
i + 1
Ответы: 1)-2; 2)1,5; 3)-0,5; 4)1; 5)0,5.
Решение:
i 5 + 2 i + 2 2 (i + 2)(1 + i ) 2 (1 + 3i )2
Z= 19 = = = = − 2 + 1,5i
i + 1 − i + 1 2 4
Отсюда Rez=-2, Imz=1,5. Тогда сумма действительной и мнимой части
будет равна: -2+1,5=-0,5.
Правильный ответ №3.
Задача 2.
Представить в тригонометрической форме комплексное число:
Z=(1+i)25
π π π π
Ответы: 1) 2 (cos + i sin ) ; 2) ( 2 )25 (cos 25 + i sin 25 ) ;
4 4 4 4
π π π π
3) (cos 25 + i sin 25 ) ; 4) ( 5 ) 25 (cos 25 + i sin 25 ) ;
4 4 4 4
π π
5) ( 2 )25 (cos 5 + i sin 5 )
4 4
Решение:
Представим число 1+i в тригонометрической форме. Для этого находим
1 π
r= 1 + i = 12 + 12 = 2 ; cosϕ = sin ϕ =
, т.е. r= 2 , arg(1 + i ) = .
2 4
По формуле Муавра: z = r (cos nϕ + i sin nϕ ) получаем:
n n
π π
(1+i)25=( 2 )25(cos25 +isin25 ).
4 4
Правильный ответ №2.
Задача 3.
Определить, сколько корней имеет уравнение: x6-1=0.
Ответы: 1)1; 2)2; 3)0; 4)6; 5)5.
Решение:
6 6 6
x -1=0, x =1, x= 1 .
Представим число z=1 в алгебраической форме 1=1+0i и в
тригонометрической 1=1(cos0+isin0). Пользуясь формулой:
ϕ + 2πk ϕ + 2πk
zk = n z = n r (cos + i sin ) , где k = 0,1,..., n − 1
n n
3
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
