Тестовые задания по контролю знаний студентов по разделам "Комплексные числа", "Дифференциальные уравнения" по дисциплине "Математика". Бутенко А.И - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

5
xdx
v
dv
2−= ,
2
ln xv −= , v=
2
X
e
−
.
Теперь решаем уравнение: u
/
2
X
e
−
+u0=2x, т.е. x
dx
du
2=
2
X
e
,
∫
= dxxedu
X
2
2 ,
u=
2
X
e
+C.
Итак, общее решение данного уравнения есть y=uv=(
2
X
e
+C)
2
X
e
−
=1+С
2
X
e
−
.
Видим, что правильный ответ №3.
Задача 6.
Найти общее решение дифференциального уравнения: y
//
+2y
/
+5y=0.
Ответы: 1) y=C
1
e
X
+C
2
e
—2X
; 2) y=e
2X
(C
1
+C
2
x); 3) y=e
—X
(C
1
cosx+C
2
sinx); 4)
y=e
—X
(C
1
cos2x+C
2
sin2x); 5) y=e
—2X
(C
1
cosx+C
2
sinx).
Решение:
Характеристическое уравнение имеет вид: k
2
+2k+5=0. Вычислим его
корни:
D= -16, iiD 41616116
2
=⋅=⋅−=−=
i
i
k 21
2
42
1
+−=
+
−
= , i
i
k 21
2
42
2
−−=
−
−
=
Получили два корня, причем
1
−
=
α
, 2
=
β
.
Если корни комплексные, то общее решение данного уравнения
следует искать в виде: y=e
α
X
(C
1
cos
β
x+C
2
sin
β
x), т.е. наше уравнение
имеет следующее общее решение: y=e
—X
(C
1
cos2x+C
2
sin2x).
Правильный ответ №4.
Задача 7.
Установить порядок дифференциального уравнения: (x-3)y
//
+y
/
=0.
Ответы: 1) 0; 2) 1; 3) 2; 4) 3; 5) 4.
Решение:
Наивысший порядок производной, входящей в дифференциальное
уравнение, называется порядком этого уравнения. Видим, что наше
дифференциальное уравнение – второго порядка.
Правильный ответ №3.
Задача 8.
Установить вид частного решения неоднородного
дифференциального уравнения второго порядка:
y
//
-2y
/
+y=x-4.
Ответы: 1) y=Ax+B; 2) y=Ax
2
+Bx+C; 3) y=x(Ax+B); 4) y=x(Ax
2
+Bx+C); 5)
y=Acosx+ Bsinx.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
          dv
             = −2 xdx , ln v = − x 2 , v= e − X .
                                               2
          v
                                                                 du        X2              2
         Теперь решаем уравнение: u/ e − X +u0=2x, т.е.
                                                    2
                                                                    = 2 x e , du = ∫ 2 xe X dx ,
                                                                 dx
                     2
         u= e X +C.
                                                                                          2
         Итак,           общее   решение        данного   уравнения   есть     y=uv=( e X +C)
         e − X =1+С e − X .
                 2           2

         Видим, что правильный ответ №3.

                                            Задача 6.
              Найти общее решение дифференциального уравнения: y//+2y/ +5y=0.
         Ответы: 1) y=C1eX+C2e—2X; 2) y=e2X(C1+C2x); 3) y=e—X(C1cosx+C2sinx); 4)
         y=e—X(C1cos2x+C2sin2x); 5) y=e—2X(C1cosx+C2sinx).
                                            Решение:
              Характеристическое уравнение имеет вид: k2+2k+5=0. Вычислим его
         корни:
         D= -16, D = − 16 = − 1 ⋅ 16 = i 2 ⋅ 16 = 4i
            − 2 + 4i                  − 2 − 4i
          k1 =       = −1 + 2i , k2 =          = −1 − 2i
               2                         2
         Получили два корня, причем α = −1 , β = 2 .
              Если корни комплексные, то общее решение данного уравнения
         следует искать в виде: y=e α X(C1cos β x+C2sin β x), т.е. наше уравнение
         имеет следующее общее решение: y=e—X(C1cos2x+C2sin2x).
         Правильный ответ №4.

                                               Задача 7.
              Установить порядок дифференциального уравнения: (x-3)y//+y/=0.
         Ответы: 1) 0; 2) 1; 3) 2; 4) 3; 5) 4.
                                               Решение:
              Наивысший порядок производной, входящей в дифференциальное
         уравнение, называется порядком этого уравнения. Видим, что наше
         дифференциальное уравнение – второго порядка.
         Правильный ответ №3.

                                       Задача 8.
              Установить      вид     частного      решения    неоднородного
         дифференциального уравнения второго порядка:
                                     y//-2y/+y=x-4.
         Ответы: 1) y=Ax+B; 2) y=Ax2+Bx+C; 3) y=x(Ax+B); 4) y=x(Ax2+Bx+C); 5)
         y=Acosx+ Bsinx.



                                                                                              5
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы