Тестовые задания по контролю знаний студентов по разделам "Комплексные числа", "Дифференциальные уравнения" по дисциплине "Математика". Бутенко А.И - 6 стр.

                                          Решение:
               Общее решение данного дифференциального уравнения будем
         искать в виде: уОН=уОО+уЧН, где:
               уОН – общее решение данного неоднородного уравнения; уОО – общее
         решение однородного уравнения; уЧН – частное решение данного
         неоднородного уравнения.
               Однородное       уравнение     имеет     вид:   y//-2y/+y=0.   Его
                                          2
         характеристическое уравнение k -2k+1=0 имеет корень k1=1 кратности 2.
         Значит, уОО=С1еХ+С2xeX. Найдем вид частного решения исходного
         уравнения. В нем правая часть
                х-4=(х-4)е0Х есть формула вида Р1(х)е0Х, причем α =0, не является
         корнем характеристического уравнения: α ≠ k1. Поэтому, частное решение
         ищем в виде: уЧН=Q1(x)e0X, т.е. уЧН=Ах+В, где А и В – неопределенные
         коэффициенты. Поэтому, правильный ответ №1.
               Окончательное решение данного дифференциального уравнения
         будет таким: у= С1еХ+С2xeX+х-2 (т.е. А=1, В= -2).


                                              Вариант №1

         1. Найти сумму действительной и мнимой части комплексного числа:
                                                         (1 + i )5
                                                   z=
                                                         (1 − i )3
         Ответы: 1) 2; 2) 0; 3) 5; 4)-5; 5) –2.

         2. Представить в тригонометрической форме комплексное число:
                                                 z = (1 − i 3 )6
                                                                     π   π          π       π
                Ответы: 1) 64(cos 2π + i sin 2π ) ; 2) 26 (cos + i sin ) ; 3) cos + i sin     ;
                                                                     3   3          3       3
                   π        π
         4) 64(cos + i sin ) ; 5) 2(cosπ + i sin π ) .
                   4        4

         3. Определить, сколько корней имеет уравнение:
                                              16x4-1=0
               Ответы: 1) 2; 2) 3; 3) 4; 4) 6; 5) 0.

         4. Найти общий интеграл уравнения:
                                      (1+eX)yy/=eX
                     1 2                             1
         Ответы: 1)     y − ln(1 + e X ) = C ; 2) C = y 2 ; 3) C = ln(1 + e X ) + y ;
                     2                               2
               1           1
         4) C = − ln 2 ; 5) y 2 + ln(1 + e X ) = C .
               2           2



         6
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com