Тестовые задания по контролю знаний студентов по разделам "Комплексные числа", "Дифференциальные уравнения" по дисциплине "Математика". Бутенко А.И - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

4
получаем )
6
20
sin
6
20
(cos11
66
k
i
k
x
k
π
π
+
+
+
== , где 5,...,1,0
=
k .
Тогда 1)0sin0(cos1
1
=+= ix
2
3
2
1
)
3
sin
3
(cos1
2
iix +=+=
ππ
2
3
2
1
)
3
2
sin
3
2
(cos1
3
iix +−=+=
ππ
101)sin(cos1
4
−=+−=+= iix ππ
2
3
2
1
)
3
4
sin
3
4
(cos1
5
iix −−=+=
ππ
2
3
2
1
)
3
5
sin
3
5
(cos1
6
iix −=+=
ππ
Видим, что получилось 6 корней, следовательно, правильный ответ №4.
Задача 4.
Найти общий интеграл уравнения: (1+y
2
)dx+(1+x
2
)dy=0.
Ответы: 1) y=tg(C-arctgx); 2) arctgy-arctgx=C; 3) y=Cx; 4) y=Ctgx; 5)
arctgy=Cx.
Решение:
Проведем преобразования уравнения так, чтобы в левой части
уравнения содержалась переменная у и ее дифференциал исключительно в
первой степени, а в правой части – аналогично для независимой
переменной х.
(1+x
2
)dy= -- (1+y
2
)dx
Разделим обе части уравнения на (1+y
2
)(1+x
2
):
22
11 x
dx
y
dy
+
−=
+
Почленно интегрируя, получим искомый общий интеграл:
∫∫
+
+
−=
+
C
x
dx
y
dy
22
11
; arctgy+arctgx=C.
Отсюда можно выразить функцию у: y=tg(C-arctgx).
Видим, что правильный ответ №1.
Задача 5.
Решить уравнение: y
/
+2xy=2x.
Ответы: 1) y=C
2
X
e
−
; 2) y=1+C; 3) 1+C
2
X
e
−
; 4) y=2+C
2
X
e
−
; 5) y=
2
X
e
+C.
Решение:
Решим уравнение методом Бернулли. Полагаем y=uv. Тогда u
/
v+uv
/
=y′.
Подставив в уравнение, получим: u
/
v+uv
/
+2xuv=2x, т.е. u
/
v+u(v
/
+2xv)=2x.
Сначала решаем уравнение v
/
+2xv=0:
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                                         0 + 2πk         0 + 2πk
         получаем xk = 6 1 = 6 1(cos             + i sin         ) , где k = 0,1,...,5 .
                                            6               6
         Тогда x1 = 1(cos 0 + i sin 0) = 1
                       π          π      1      3
          x2 = 1(cos      + i sin ) = + i
                       3          3      2     2
                       2π          2π        1      3
          x3   = 1(cos     + i sin     ) = − +i
                        3           3        2     2
          x4   = 1(cos π + i sin π ) = −1 + i 0 = −1
                     4π         4π       1    3
          x5 = 1(cos    + i sin    ) = − −i
                      3          3       2   2
                     5π         5π     1    3
          x6 = 1(cos    + i sin ) = − i
                      3          3     2   2
         Видим, что получилось 6 корней, следовательно, правильный ответ №4.

                                        Задача 4.
         Найти общий интеграл уравнения: (1+y2)dx+(1+x2)dy=0.
         Ответы: 1) y=tg(C-arctgx); 2) arctgy-arctgx=C; 3) y=Cx; 4) y=Ctgx; 5)
         arctgy=Cx.
                                        Решение:
               Проведем преобразования уравнения так, чтобы в левой части
         уравнения содержалась переменная у и ее дифференциал исключительно в
         первой степени, а в правой части – аналогично для независимой
         переменной х.
         (1+x2)dy= -- (1+y2)dx
         Разделим обе части уравнения на (1+y2)(1+x2):
             dy              dx
                  2
                      =−
         1+ y              1 + x2
         Почленно интегрируя, получим искомый общий интеграл:
               dy                 dx
          ∫ 1 + y2    = −∫
                             1 + x2
                                       + C ; arctgy+arctgx=C.

         Отсюда можно выразить функцию у: y=tg(C-arctgx).
         Видим, что правильный ответ №1.

                                                        Задача 5.
                                             /
         Решить уравнение: y +2xy=2x.
         Ответы: 1) y=C e − X ; 2) y=1+C; 3) 1+C e − X ; 4) y=2+C e − X ; 5) y= e X +C.
                                         2                        2                   2    2

                                           Решение:
         Решим уравнение методом Бернулли. Полагаем y=uv. Тогда u/v+uv/=y′.
         Подставив в уравнение, получим: u/v+uv/+2xuv=2x, т.е. u/v+u(v/+2xv)=2x.
         Сначала решаем уравнение v/+2xv=0:




         4
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы