Метод межотраслевого баланса в химии. Бутырская Е.В. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

8
С учетом (2) уравнение баланса (1) принимает вид:
∑
+
=
j
ijiji
YXaX (i = 1,2,3,4,5) (3)
В общем случае для предприятия с n подразделениями матрица прямых затрат
А , матрица – столбец валового выпуска Х и матрица- столбец конечного
продукта У имеют вид
=
nn2n1n
n22221
n11211
aaa
aaa
aaa
A
L
LLLL
L
L
;
=
n
2
1
X
X
X
X
L
и
=
n
2
1
Y
Y
Y
Y
L
,
тогда систему уравнений (3) можно представить в матричном виде
Y
X
A
X
+
⋅
=
(4)
Основная задача межотраслевого баланса состоит в определении такой
матрицы валового выпуска Х, которая при известной матрице прямых затрат А
обеспечивает заданную матрицу конечного продукта Y. Эта задача легко
решается методами линейной алгебры. Перепишем (4) в виде
(
)
YXAЕ
=
⋅
−
, (5)
где Е – единичная матрица. Последняя система уравнений может быть решена
методом обратной матрицы . Матрица ( Е –
1
)А
−
называется обратной по
отношению к квадратной матрице Е–А , если
(
)
(
)
(
)
(
)
ЕАЕАЕАЕАЕ
11
=−⋅−=−−
−−
,
Обратная матрица существует и единственна, если определитель матрицы Е–А
не равен нулю . В этом случае она вычисляется по формуле: 
                                                  8
С уч етом (2) ур авнени е б аланса (1) пр и ни м ает ви д:


                                        X i = ∑ aij X j + Yi (i = 1,2,3,4,5) (3)
                                              j

В об щ ем случ аедля пр едпр и яти я с n подр азделени ям и м атр и цапр ям ы х з атр ат
А , м атр и ца – столб ец валового вы пуска Х и м атр и ца-столб ец конеч ного
пр одуктаУ и м ею т ви д


              a 11 a 12      L a 1n          
                                                    X1                           Y1 
                                                                                 
                                                      X                            Y2 
         A =  a 21 a 22                      ; X =                            Y =  ,
                                                         2
                              L a 2n                                и
                                                     L                            L
              L     L        L      L                                            
                                                     X                            Y 
              a                                     n                            n
                n1 a n 2     L a nn          


тогдаси стем уур авнени й (3) м ож но пр едстави тьв м атр и ч ном ви де


                               X= A⋅X+ Y                                        (4)


О сновная з адач а м еж отр аслевого б аланса состои т в опр еделени и такой
м атр и цы валового вы пускаХ, котор ая пр и и з вестной м атр и це пр ям ы х з атр ат А
об еспеч и вает з аданную    м атр и цу конеч ного пр одукта Y. Э та з ада
                                                                         ч а легко
р еш аетсям етодам и ли нейной алгеб р ы . Пер епи ш ем (4) в ви де


                                   (Е   − A) ⋅ X = Y ,                          (5)
где Е – еди ни ч ная м атр и ца. Последняя си стем аур авнени й м ож ет б ы ть р еш ена
м етодом об р атной м атр и цы . М атр и ца ( Е – А ) −1 назы вается об р атной по
отнош ени ю к квадр атной м атр и цеЕ –А , если

                     (Е   − А ) −1 (Е − А ) = (Е − А ) ⋅ (Е − А   )−1 = Е   ,
О б р атная м атр и цасущ ествует и еди нственна
                                               , если опр едели тельм атр и цы Е –А
нер авен нулю . В э том случ аеонавы ч и сляетсяпо ф ор м уле:

Страницы