Физико-химическое моделирование в нефтегазовой геохимии. Часть 1. Теория и методология физико-химического моделирования. Бычинский В.А - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

– 54 –
Èç ôèçè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé ìîëüíûå êîëè÷åñòâà êîìïîíåí-
òîâ íå ìîãóò áûòü îòðèöàòåëüíûìè âåëè÷èíàìè:
x ≥ 0. (3.2)
Âî ìíîãèõ çàäà÷àõ, èñõîäÿ èç ýìïèðè÷åñêîãî îïûòà, íà âåêòîð
x èëè íà ÷àñòü åãî êîìïîíåíòîâ ìîãóò áûòü íàëîæåíû äîïîëíèòåëü-
íûå îãðàíè÷åíèÿ. Ó÷èòûâàÿ ïîãðåøíîñòè â èñõîäíûõ òåðìîäèíà-
ìè÷åñêèõ äàííûõ, ìîæíî íàëîæèòü îãðàíè÷åíèÿ íà âñå èëè ÷àñòü
êîìïîíåíòîâ âåêòîðà b.
Ñèñòåìó óðàâíåíèé áàëàíñà ìàññ, â êîòîðóþ, åñëè íåîáõîäè-
ìî, âêëþ÷àåòñÿ óðàâíåíèå ýëåêòðîíåéòðàëüíîñòè, ìîæíî çàïèñàòü
â âèäå:
Ax = b, (3.3)
ãäå
(
)
1, ; 1,
ij
Aainjm≡= =
– ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ, ïîêàçûâà-
þùèõ ÷èñëî ìîëåé ñòåõèîìåòðè÷åñêîé åäèíèöû i â êîìïîíåíòå j;
(
)
1,
i
bbi n
′
≡=
– âåêòîð èñõîäíîãî õèìè÷åñêîãî ñîñòàâà ñèñòåìû,
ýëåìåíò êîòîðîãî b
i
åñòü ÷èñëî ìîëåé ñòåõèîìåòðè÷åñêîé åäèíèöû
i â ñèñòåìå.
Ñóùåñòâóþò íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ äëÿ òîãî,
÷òîáû íåêîòîðàÿ òî÷êà x ïðåäñòàâëÿëà ñîáîé ðåøåíèå çàäà÷è ìè-
íèìèçàöèè âûïóêëîé ôóíêöèè (3.1) ïðè îãðàíè÷åíèÿõ (3.2) è
(3.3). Â òåîðèè âûïóêëîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ ýòè óñëîâèÿ äàåò
òåîðåìà Êóíà–Òàêêåðà, ïðåäñòàâëÿþùàÿ îáîáùåíèå êëàññè÷åñ-
êîãî ìåòîäà ìíîæèòåëåé Ëàãðàíæà äëÿ îïðåäåëåíèÿ ýêñòðåìóìà
ïðè îãðàíè÷èâàþùèõ óñëîâèÿõ. Êðèòåðèè, êîòîðûå äàåò òåîðå-
ìà Êóíà–Òàêêåðà, âûðàæàþòñÿ ÷åðåç îáîáùåííóþ ôóíêöèþ Ëàã-
ðàíæà:
(
)
() ( )
,,xu Gx u b Ax
′
Φ=+−
(3.4)
ãäå
(
)
1,
i
uui n
′
≡= – âåêòîð ìíîæèòåëåé Ëàãðàíæà.
 ïðåäïîëîæåíèè âûïóêëîñòè G(x) áóäåò èìåòü ìåñòî ñëåäó-
þùàÿ òåîðåìà.
∧∧
∧∧
∧
                                  – 54 –
      Èç ôèçè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé ìîëüíûå êîëè÷åñòâà êîìïîíåí-
òîâ íå ìîãóò áûòü îòðèöàòåëüíûìè âåëè÷èíàìè:
                              x ≥ 0.                         (3.2)
      Âî ìíîãèõ çàäà÷àõ, èñõîäÿ èç ýìïèðè÷åñêîãî îïûòà, íà âåêòîð
x èëè íà ÷àñòü åãî êîìïîíåíòîâ ìîãóò áûòü íàëîæåíû äîïîëíèòåëü-
íûå îãðàíè÷åíèÿ. Ó÷èòûâàÿ ïîãðåøíîñòè â èñõîäíûõ òåðìîäèíà-
ìè÷åñêèõ äàííûõ, ìîæíî íàëîæèòü îãðàíè÷åíèÿ íà âñå èëè ÷àñòü
êîìïîíåíòîâ âåêòîðà b.
      Ñèñòåìó óðàâíåíèé áàëàíñà ìàññ, â êîòîðóþ, åñëè íåîáõîäè-
ìî, âêëþ÷àåòñÿ óðàâíåíèå ýëåêòðîíåéòðàëüíîñòè, ìîæíî çàïèñàòü
â âèäå:
                             Ax = b,                         (3.3)

ãäå A ≡ aij (i = 1, n; j = 1, m ) – ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ, ïîêàçûâà-
þùèõ ÷èñëî ìîëåé ñòåõèîìåòðè÷åñêîé åäèíèöû i â êîìïîíåíòå j;
b′ ≡ bi ( i = 1, n ) – âåêòîð èñõîäíîãî õèìè÷åñêîãî ñîñòàâà ñèñòåìû,
ýëåìåíò êîòîðîãî bi åñòü ÷èñëî ìîëåé ñòåõèîìåòðè÷åñêîé åäèíèöû
i â ñèñòåìå.
      Ñóùåñòâóþò íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ äëÿ òîãî,
                             ∧
÷òîáû íåêîòîðàÿ òî÷êà x ïðåäñòàâëÿëà ñîáîé ðåøåíèå çàäà÷è ìè-
íèìèçàöèè âûïóêëîé ôóíêöèè (3.1) ïðè îãðàíè÷åíèÿõ (3.2) è
(3.3). Â òåîðèè âûïóêëîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ ýòè óñëîâèÿ äàåò
òåîðåìà Êóíà–Òàêêåðà, ïðåäñòàâëÿþùàÿ îáîáùåíèå êëàññè÷åñ-
êîãî ìåòîäà ìíîæèòåëåé Ëàãðàíæà äëÿ îïðåäåëåíèÿ ýêñòðåìóìà
ïðè îãðàíè÷èâàþùèõ óñëîâèÿõ. Êðèòåðèè, êîòîðûå äàåò òåîðå-
ìà Êóíà–Òàêêåðà, âûðàæàþòñÿ ÷åðåç îáîáùåííóþ ôóíêöèþ Ëàã-
ðàíæà:
                   Φ ( x, u ) = G ( x ) + u′ ( b − Ax ) ,      (3.4)

ãäå u′ ≡ ui ( i = 1, n ) – âåêòîð ìíîæèòåëåé Ëàãðàíæà.
     Â ïðåäïîëîæåíèè âûïóêëîñòè G(x) áóäåò èìåòü ìåñòî ñëåäó-
þùàÿ òåîðåìà.

Страницы