Математика. Быкадорова Г.В. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

48
Определение . Отношение R в множестве М называется
рефлексивным, если для каждого элемента
Mm
i
∈
справедливо
(
)
Rmm
ii
∈,
:
(
)
(
)
(
)
RmmMm
iii
∈
∈
∀
,
.
Определение . Отношение R в множестве М называется симметричным,
если из
(
)
Rmm
ji
∈
,
следует
(
)
Rmm
ij
∈
,
,
ji
mm
≠
:
RmmRmmMmmmm
ijjijiji
∈→∈∈≠∀ ,,,
.
Определение . Отношение R в множестве М называется транзитивным,
если из
(
)
Rmm
ji
∈
,
и
Rmm
kj
∈,
следует
(
)
Rmm
ki
∈
,
,
Mmmm
kji
∈
,,
,
ji
mm
≠
,
kj
mm ≠
,
ki
mm ≠
.
Пример 6.13. Записать рефлексивное бинарное отношение в множестве
М ={1, 2, 5}.
Решение . R={(1,1), (2,2), (5,5)}.
Пример 6.14. Записать симметричное бинарное отношение в множестве
М ={а , b, c}.
Решение . R={(a,b), (b,a), (a,c) (c,a), (b,c), (c,b)}.
Пример 6.15. Я вляется ли транзитивным бинарное отношение
R={( m
1
, m
2
), (m
2
, m
3
), (m
3
, m
1
)} в множестве М ={m
1
, m
2
, m
3
}?
Решение . Нет, так как для выполнения условия транзитивности третья
дуга множества R должна быть (m
1
,m
3
), т.е. её начало должно совпадать
с началом первой дуги , а конец с концом второй дуги .
Задания
6.19. Записать бинарное отношение Р для заданного множества:
а)
{
}
8,7,6,5,4,3,2,1
=
A и
{
}
четноеyнечетноеxAyxyxP −−∈= ,,,,
;
б)
{
}
7, ≤∈= xNxxA
и
(
)
{
}
yxAyxyxP ≤∈= 2,,,
;
в)
{
}
22, ≤≤−∈= xZxxA
и
(
)
{
}
yxAyxyxP >∈= ,,,
;
г)
{
}
4,
2
≤∈= xZxxA и
(
)
{
}
AyxyxP ∈= ,, .
6.20. Для элементов множества А изобразить графически в декартовой
системе координат бинарное отношение Р :
а)
{
}
9,8,7,6,4,3,2
=
A и
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
{
}
9,4,4,4,2,7,3,6,9,3,8,2
=
P ;
б)
{
}
6,5,4,3,2,1
=
A и
(
)
{
}
четноеyнечетноеxAyxyxP −−∈= ,,,,
;
в) А={2, 4, 3} и
{
}
yxAxyxP ≥∈= ,,
.
6.21. Соединить стрелками элементы множеств А и B , связанные
бинарными отношениями:
а)
{
}
21
, aaA
=
,
{
}
321
,, bbbB =
,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
{
}
322212312111
,,,,,,,,,,, babababababaP
=
;
б)
{
}
2,1
=
A ,
{
}
321
,, bbbB =
,
(
)
(
)
(
)
(
)
{
}
3131
,2,,2,,1,,1 bbbbP =
;
в)
{
}
mnA ,
=
, В={♠, ♣, ♥, ♦ }, Р={(n, ♠), (n, ♣), (m, ♠), (m, ♥), (n, ♥)};
г)
{
}
$%,@,
=
A ,
{
}
UI ,,
∀
=
B ,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
{
}
∀
∀
∀
∀
=
$,,%,,@,,@,,@,,@, IUP ;
д) А={а , b, c},
{
}
52, ≤≤∈= bNbbB
и
(
)
{
}
ByAxyxP ∈∈= ,,
. 
                                                            48
Определение. Отношение R в множестве                М     называется
рефлексивным, если для каждого элемента mi ∈M справедливо (mi , mi )∈R :
                                             (∀mi ∈M ) ((mi , mi )∈R ).
Определение. Отношение R в множестве М называется симметричным,
если из (mi , m j )∈R следует (m j , mi )∈R , mi ≠m j :
                         (∀m , m (m
                               i    j    i   ≠m j )∈M ) ((mi , m j )∈ R → (m j , mi )∈ R ).

Определение. Отношение R в множестве М называется транзитивным,
если из (mi , m j )∈R и (m j , mk )∈R следует (mi , mk )∈R , mi , m j , mk ∈M ,
mi ≠m j , m j ≠mk , mi ≠mk .
Пример 6.13. Записать рефлексивное бинарное отношение в множестве
             М ={1, 2, 5}.
   Решение. R={(1,1), (2,2), (5,5)}.
Пример 6.14. Записать симметричное бинарное отношение в множестве
             М ={а, b, c}.
   Решение. R={(a,b), (b,a), (a,c) (c,a), (b,c), (c,b)}.
Пример 6.15. Является ли транзитивным бинарное отношение
    R={( m1, m2), (m2, m3), (m3, m1)} в множестве М ={m1, m2, m3}?
   Решение. Нет, так как для выполнения условия транзитивности третья
   дуга множества R должна быть (m1,m3), т.е. её начало должно совпадать
   с началом первой дуги, а конец с концом второй дуги.
                                                       Задания
6.19. Записать бинарное отношение Р для заданного множества:
      а) A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} и P ={(x, y ) x, y ∈ A, x −нечетное, y −четное};
      б) A ={x x ∈ N , x ≤7} и P ={(x, y ) x, y ∈ A, 2 x ≤ y};
      в) A ={x x ∈Z , −2 ≤x ≤2} и P ={(x, y ) x, y ∈ A, x > y};
      г) A ={x x ∈Z , x 2 ≤4} и P ={(x, y ) x, y ∈ A}.
6.20. Для элементов множества А изобразить графически в декартовой
      системе координат бинарное отношение Р :
      а) A ={2, 3, 4, 6, 7, 8, 9} и P ={(2, 8), (3, 9), (6, 3), (7, 2), (4, 4), (4, 9)};
      б) A ={1, 2, 3, 4, 5, 6} и P ={(x, y ) x, y ∈ A, x −нечетное, y −четное};
      в) А={2, 4, 3} и P ={(x, y ) x ∈ A, x ≥ y}.
6.21. Соединить стрелками элементы множеств А и B, связанные
      бинарными отношениями:
      а) A ={a1 , a 2 }, B ={b1 , b2 , b3 }, P ={(a1 , b1 ), (a1 , b2 ), (a1 , b3 ), (a 2 , b1 ), (a 2 , b2 ), (a 2 , b3 )};
      б) A ={1, 2}, B ={b1 , b2 , b3 }, P ={(1, b1 ), (1, b3 ), (2, b1 ), (2, b3 )};
      в) A ={n, m}, В={♠, ♣, ♥, ♦}, Р={(n, ♠), (n, ♣), (m, ♠), (m, ♥), (n, ♥)};
      г) A ={@, %, $ }, B ={∀, , }, P ={(@, ∀ ), (@,  ), (@,  ), (@, ∀ ), (%, ∀ ), ($, ∀ )};
      д) А={а, b, c}, B ={b b ∈N , 2 ≤b ≤5} и P ={(x, y ) x ∈ A, y ∈B}.

Страницы