Решение задач по теоретической механике. Часть 2. Кинематика. Чеботарев А.С. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

5
§1. Координатный и векторный способы задания движения точки .
Уравнения движения точки . Траектория
При координатном способе задания движения положение точки в
пространстве в любой момент времени
t
определяется декартовыми
координатами:
)( txx
=
;
)( tyy
=
;
)( tzz
=
(1.1)
Уравнения (1.1) называют уравнениями движения точки. При векторном
способе задания движения положение точки в любой момент времени
определяется ее радиус-вектором :
)( trr =
(1.2)
Исключив из уравнений (1.1) параметр
t
, получим непараметрические
уравнения кривой , по которой движется точка . Траекторией точки может быть
вся полученная кривая или ее часть . Для определения траектории следует
установить области изменения координат
x
,
y
,
z
по заданным уравнениям
движения , считая время движения
существенно положительной величиной .
При известном уравнении кривой , по которой движется
точка, траектория во многих случаях может быть
выделена заданием области изменения только одной
координаты . При исследовании траектории точек
механизмов следует учитывать также конструктивные
особенности данного механизма, ограничивающие его
движение.
Задача 1. (рис 1.). Движение точки в плоскости XOY
задано уравнениями:
⋅=
⋅=
tay
tax
2cos2
sin
(a)
где
a
- постоянная (
a
0
>
);
- время .
Определить траекторию точки и исследовать её
движение.
Решение . Заданные уравнения движения точки
)( a
являются уравнениями
траектории в параметрической форме. Для получения уравнения кривой , по
которой движется точка, в непараметрической форме следует из этих
уравнений исключить параметр
. Имеем
)sin21(22cos2
2
tatay −=⋅=
Из первого уравнения (a) найдём
a
x
t =sin
, 
                                          5

    §1. Координатный и векторный способы задания движения точки.
                Уравнения движения точки. Траектория

   При координатном способе задания движения положение точки в
пространстве в любой момент времени t определяется декартовыми
координатами:
               x =x (t ) ;  y = y (t ) ; z =z (t )         (1.1)
   Уравнения (1.1) называют уравнениями движения точки. При векторном
способе задания движения положение точки в любой момент времени
определяется ее радиус-вектором:
                                      r =r (t )                       (1.2)
   Исключив из уравнений (1.1) параметр t , получим непараметрические
уравнения кривой, по которой движется точка. Траекторией точки может быть
вся полученная кривая или ее часть. Для определения траектории следует
установить области изменения координат x , y , z по заданным уравнениям
движения, считая время движения t существенно положительной величиной.
При известном уравнении кривой, по которой движется
точка, траектория во многих случаях может быть
выделена заданием области изменения только одной
координаты. При исследовании траектории точек
механизмов следует учитывать также конструктивные
особенности данного механизма, ограничивающие его
движение.
   Задача 1. (рис 1.). Движение точки в плоскости XOY
задано уравнениями:
                   x =a ⋅ sin t �
                                    �              (a)
                   y =2a ⋅ cos 2t �
где a - постоянная ( a >0 ); t - время.
   Определить траекторию точки и исследовать её
движение.
   Решение. Заданные уравнения движения точки (a ) являются уравнениями
траектории в параметрической форме. Для получения уравнения кривой, по
которой движется точка, в непараметрической форме следует из этих
уравнений исключить параметр t . Имеем
                         y =2 a ⋅ cos 2t =2 a(1 −2 sin 2 t )
   Из первого уравнения (a) найдём
                                            x
                                     sin t = ,
                                            a

Страницы