Решение задач по теоретической механике. Часть 2. Кинематика. Чеботарев А.С. - 7 стр.

                                         7
    Пусть c - точка колеса I, которая в начальный момент t =0 находилась в
C 0 - месте зацепления колес. Из условия отсутствия скольжения (благодаря
наличию зубцов) имеем CD =C 0 D или Rϕ =rγ , где γ =∠CO1 D .
   Имея в виду, что R =2r получим γ =2ϕ . Обозначим через ψ острый угол,
составленный диаметром СВ с вертикальной осью O2 y . По теореме о внешнем
угле треугольника имеем γ =ϕ +ψ =2ϕ откуда ϕ =ψ .
   Отсюда, легко заключить, что точка C в процессе всего движения будет
перемещаться вдоль оси O2 y .
   Обозначим координаты точки А через x и y . Введём радиус-вектор
ρ =O2 A . Из рисунка ясно, что ρ =O2 A +O1 A
  Проектируя это векторное равенство на оси, получим
                   x =O2 O1 sin ϕ +O1 A sinψ =(2r +l ) sin ϕ �
                                                                �       (с)
                     y =−O2 O1 cos ϕ +O1 A cosψ =l cos ϕ        �
   Отсюда следует, что точка B в процессе движения перемещается вдоль оси
O2 x так как y B = y A −l cos ϕ =0 .
   Подставляя в (с) ϕ =kt получим уравнения движения точки A :
                             x =(2r +l ) sin kt , y =l cos kt
которые одновременно являются и уравнениями траектории точки в
параметрической форме. Исключая время t , получим уравнение кривой, по
которой движется точка, в непараметрической форме.
  Для исключения t перепишем уравнения движения в виде
                              x             y
                                  =sin kt ;   =cos kt
                            2r +l           l
Пользуясь тождеством

                               sin 2 kt +cos 2 kt =1
получим
                              x2      y2
                                     + =1                               (d)
                           (2r +l ) 2 l 2
Это эллипс с полуосями a =2r +l , b =l и центром в начале координат. При
изменении t от 0 до ∞ абсцисса x изменяется в пределах −a ≤x ≤a , а
ордината y в пределах −b ≤ y ≤b , и, следовательно, точка в своем движении
обходит весь эллипс. Таким образом, в данной точке вся кривая, определяемая
уравнением (d), является траекторией точки.