Решение задач по теоретической механике. Часть 2. Кинематика. Чеботарев А.С. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

6
тогда
)
2
1(2
2
2
a
x
ay −=
(b)
Это уравнение параболы , вершина которой находится в точке
)2,0( a
, а
ветви, направлены вниз. Однако не вся полученная парабола является
траекторией точки. Действительно, из (a) следует, что
ax ≤
,
ay 2 ≤
, т. е.
траекторией точки является часть параболы , заключенная внутри
прямоугольника со сторонами
a2
и
a4
. Таким образом , уравнением траектории
точки является
)
2
1(2
2
2
a
x
ay −=
при
a
x
a
≤
≤
−
.
Найдём начальное положение точки. При
0
=
t
имеем
0
0
=
=t
x
,
ay
t
2
0
=
=
, т.
е. точка в начальный момент находилась в вершине параболы . При возрастании
t
от
0
до
сек
π
абсцисса
x
увеличивается , а ордината
y
уменьшается , т. е.
точка движется по параболе вправо. При
секtt
1
π
==
имеем
ax
t
=
= 0
ay
t
2
0
−=
=
В промежутке
секtсек
2
3
2
π
π
≤≤
точка движется по параболе влево, проходя
её вершину в момент
секtt
π
=
=
2
. Начиная с момента
секtt
3
3
π
==
, точка
снова движется вправо, проходя начальное положение в момент
секtt π 2
4
==
,
и т.д. Таким образом , точка совершает с течением времени колебательное
движение вдоль параболы .
Задача 2. (рис 2.). Зубчатое
колесо I радиусом , обкатывается ,
внутри
неподвижного зубчатого колеса II
радиусом
r
R
2
=
, с помощью ,
кривошипа
21
OO
, угол поворота
которого
ϕ
задан как функция
времени:
kt
=
ϕ
(k-постоянная ).
Определить уравнения движения и
траекторию конца
A
отрезка
AB
длиной
l
, неизменно связанного с
колесом I и расположенного вдоль
его радиуса. При
0
=
t
колесо I
занимало нижнее положение
( показанное на рисунке пунктиром ) и точка
B
совпадала с центром колеса II.
Решение . Рассмотрим положение механизма в некоторый текущий момент
времени
t
. Колесо I займет при этом положение, показанное на рисунке. 
                                          6
                               2x 2
   тогда             y =2a (1 − 2 )                                          (b)
                               a
    Это уравнение параболы, вершина которой находится в точке ( 0, 2 a ) , а
ветви, направлены вниз. Однако не вся полученная парабола является
траекторией точки. Действительно, из (a) следует, что x ≤a , y ≤2a , т. е.
траекторией точки является часть параболы, заключенная внутри
прямоугольника со сторонами 2a и 4a . Таким образом, уравнением траектории
                            2x 2
точки является  y =2 a (1 −      ) при −a ≤ x ≤a .
                            a2
    Найдём начальное положение точки. При t =0 имеем x t =0 =0 , y t =0 =2a , т.
е. точка в начальный момент находилась в вершине параболы. При возрастании
             π
t от 0 до сек абсцисса x увеличивается, а ордината y уменьшается, т. е.
             2
                                                  π
точка движется по параболе вправо. При t =t1 = сек имеем
                                                   2
                              x t =0 =a       y t =0 =−2a
                  π          3π
  В промежутке       сек ≤t ≤ сек точка движется по параболе влево, проходя
                  2           2
                                                                3π
её вершину в момент t =t 2 =π сек . Начиная с момента t =t3 = сек , точка
                                                                 2
снова движется вправо, проходя начальное положение в момент t =t 4 =2π сек ,
и т.д. Таким образом, точка совершает с течением времени колебательное
движение вдоль параболы.
   Задача 2. (рис 2.). Зубчатое
колесо I радиусом, обкатывается,
внутри
неподвижного зубчатого колеса II
радиусом R =2r , с помощью,
кривошипа O1O2 , угол поворота
которого ϕ задан как функция
времени: ϕ =kt (k-постоянная).
Определить уравнения движения и
траекторию конца A отрезка AB
длиной l , неизменно связанного с
колесом I и расположенного вдоль
его радиуса. При t =0 колесо I
занимало     нижнее      положение
(показанное на рисунке пунктиром) и точка B совпадала с центром колеса II.
   Решение. Рассмотрим положение механизма в некоторый текущий момент
времени t . Колесо I займет при этом положение, показанное на рисунке.

Страницы