Работа 1.
Интерполяция функций с равноотстоящими узлами
.
1. Цель работы.
Научиться пользоваться программой EXCEL для получения
аналитической зависимости по экспериментальным данным.
2. Основные теоретические положения.
2.1. Приближение функций одной переменной.
Одной из наиболее важных проблем численного анализа является
проблема приближенного описания неизвестной функциональной
зависимости по известным ее значениям в некоторых точках,
называемых узловыми.
Пример 1.
Закон движения некоторого объекта S = f(t) представлен в табл.1 (
t - время, S -путь).
Таблица 1
t 0 1 2 3 4 5 6
S 0 2 10 30 46 130 222
Требуется найти пройденный объектом путь к моменту t = 3,5.
Для вычисления S = f(3,5) необходимо на основе табл.1 получить
математическое описание функциональной зависимости S = f(t).
При требовании точного совпадения в узловых точках функции и ее
приближения ( задача интерполяции ) число определяемых
параметров аппроксимирующей зависимости равно числу точек. При
выборе такого критерия задача сводится к построению
интерполяционных многочленов.
В тех случаях, когда значения функции в узлах определены с
некоторой погрешностью или количество узловых точек велико,
требование точного совпадения в узлах излишне. Аппроксимирующая
зависимость должна быть близка к исходной функции лишь в смысле
некоторого критерия. В этом случае задача о приближении ( задача
аппроксимации) ставится следующим образом. Требуется данную
достаточно сложную функцию f(x) заменить (аппроксимировать)
полиномом так, чтобы отклонение функции от полинома на заданном
множестве Х={x} было минимальным. В качестве критерия
рассогласования в задачах аппроксимации наиболее распространен
критерий «наименьших квадратов» R:
