Физика. Часть 1. Механика, молекулярная физика и термодинамика. Чухрий Н.И - 21 стр.

     М = m ⋅ε ⋅ r 2 .                                             (3.1)
      i i i i
Просуммируем правую и левую части полученного выражения.
Алгебраическую сумму моментов всех внешних сил, действующих на тело,
назовем полным моментом внешних сил и обозначим:
              n
     М внеш = ∑ М iвнеш .
             i=1
       n
Сумма ∑ m ⋅ r 2 =J носит название момента инерции тел относительно
      i=1 i i
заданной оси. Момент инерции тела численно равен сумме произведений
масс всех его точек на квадраты их расстояний до оси вращения. Величина
этого момента инерции зависит не только от массы всего тела и ее
распределения в теле системы ( тела), но также от ориентации тела
относительно рассматриваемой оси вращения. Так как угловое ускорение
для всех точек вращающегося твердого тела одинаково, выражение (3.1)
примет вид:
     М внеш =J ⋅ ε .                                          (3.2)
Уравнение позволяет найти угловое ускорение вращающегося тела ε по
известному моменту внешних сил и выражает закон динамики для
вращательного движения. Это уравнение аналогично второму закону
Ньютона для динамики поступательного движения:
     F =m ⋅a .
     Сопоставляя уравнения, мы видим, что при вращательном движении
роль силы F играет момент силы М внеш , роль ускорения играет угловое

ускорение ⋅ ε , а роль массы играет момент инерции J .
     Если рассматриваемое тело представляет собой обруч массы      m   ,
толщина которого мала по сравнению с радиусом R, то момент его инерции
относительно оси, проходящей через центр и перпендикулярной к плоскости
обруча, равен:
         n               n              n
     J= ∑ mi ri 2 = ∑ mi ⋅ R 2 = R 2 ∑ mi = m ⋅ R 2 .
       i=1         i=1               i=1
     Для тел более сложной формы в случае непрерывного распределения
масс суммирование производится методами интегрального исчисления. Так,
например, для сплошного диска или сплошного цилиндра момент инерции
относительно оси симметрии этих тел равен:
     J цил = 12 mR 2 .
     Момент инерции тонкого цилиндра ( стержня), относительно оси,
проходящей через его центр и перпендикулярной к стержню, равен:


                                   21