Дискретные системы и цифровая обработка сигналов. Дахнович А.А. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Теорема Котельникова: произвольный сигнал ()
s
t , спектр которого ограничен частотой
в
F , может быть полностью
восстановлен по последовательности своих отсчетов, взятых с интервалом
в
2
1
F
t
≤∆ . (3.1)
При этом восстановление осуществляется с помощью ряда
()
()
sin
()
k
k
tkt
t
st s
tkt
t
∞
=−∞
π

−∆

∆

=
π
−∆
∆
∑
. (3.2)
Физический смысл этой теоремы становится ясным, если рассмотреть спектры сигналов ()
s
t и ()
D
s
t .
Рис. 3.3
Из рис. 3.3 видно, что ()
D
Sf содержит в себе ()Sf и еще бесконечное число копий ()Sf , сдвинутых друг относи-
тельно друга на частоту дискретизации
D
f . Если пропустить сигнал ()
D
Sf через фильтр нижних частот (ФНЧ), АЧХ ко-
торого показана на этом же рисунке, на выходе ФНЧ останется только
()Sf , т.е. восстановится исходный сигнал ()
s
t .
При
в
2Ff
D
> копии не пересекаются с основным лепестком спектра ()
D
Sf и такое восстановление возможно.
При
в
2Ff
D
= копии соприкасаются с основным лепестком, однако выделение исходного сигнала ()
s
t еще возмож-
но с помощью идеального ФНЧ с бесконечной крутизной спада АЧХ.
При
в
2Ff
D
< лепестки спектра ()
D
Sf перекрываются и восстановление исходного сигнала ()
s
t становится невоз-
можным.
На практике частоту
D
f всегда выбирают большей, чем
в
2F , так как любой фильтр разумной сложности имеет да-
леко не бесконечную крутизну спада АЧХ.
Спектр реального сигнала редко имеет точную верхнюю границу
в
F . Чаще всего ()Sf уменьшается с ростом часто-
ты, асимптотически приближаясь к нулю. В таком случае на входе дискретизирующего устройства помещают ФНЧ,
имеющий частоту, равную эффективной ширине спектра исходного аналогового сигнала. Его назначение – убрать "хво-
сты" спектра за пределами
в
F и тем самым исключить перекрытие лепестков спектра ()
D
Sf.
0
0
t
t
()
D
s
t
()
s
t
()Sf
0
B
F
−
B
F
()
D
Sf
0
B
F
−
B
F
f
f
D
f
B
fF
−
D
B
fF+
D
f
−
D
B
fF
−
−
ПФ
→
ПФ
→
–
f
D
+ F
B
… …

Страницы