Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 3 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Лекция 1
1.1. Основные понятия и определения
Теория дифференциальных уравнений возникает из задач
дифференциального и интегрального исчислений. Само опреде-
ление дифференциального уравнения опирается на понятие про-
изводной функции, а задача его решения является по существу
обобщенной задачей интегрирования. В дифференциальном ис-
числении по заданной функции y = y(x) находим ее производ-
ную
y
(x)=f(x) , (1.1)
которая сама является некоторой функцией f(x) переменной x.
В интегральном исчислении мы решаем обратную задачу: пусть
задана функция f(x), найти ее первообразную y(x). Решение
этой задачи дается неопределенным интегралом
y(x)=
f(x) dx + C,
где C — произвольная постоянная. Таким образом, в задаче
интегрального исчисления мы решаем уравнение (1.1), рассмат-
ривая в нем функцию y(x) как неизвестную. Уравнение (1.1)
является простейшим примером того, что в математике называ-
ется дифференциальным уравнением. Дадим общее определение
дифференциального уравнения.
Пусть y = y(x) — некоторая неизвестная действительная
функция одной действительной переменной x,аy
(x), y

(x),...,
y
(n)
(x) — ее производные до n-го порядка включительно. Ино-
гда, для краткости, указание на аргумент функций мы будем
опускать и подразумевать его по умолчанию.
3
                           Лекция 1

          1.1. Основные понятия и определения
      Теория дифференциальных уравнений возникает из задач
дифференциального и интегрального исчислений. Само опреде-
ление дифференциального уравнения опирается на понятие про-
изводной функции, а задача его решения является по существу
обобщенной задачей интегрирования. В дифференциальном ис-
числении по заданной функции y = y(x) находим ее производ-
ную
                         y (x) = f (x) ,                   (1.1)
которая сама является некоторой функцией f (x) переменной x.
В интегральном исчислении мы решаем обратную задачу: пусть
задана функция f (x), найти ее первообразную y(x). Решение
этой задачи дается неопределенным интегралом
                              
                     y(x) =       f (x) dx + C ,
где C — произвольная постоянная. Таким образом, в задаче
интегрального исчисления мы решаем уравнение (1.1), рассмат-
ривая в нем функцию y(x) как неизвестную. Уравнение (1.1)
является простейшим примером того, что в математике называ-
ется дифференциальным уравнением. Дадим общее определение
дифференциального уравнения.
      Пусть y = y(x) — некоторая неизвестная действительная
функция одной действительной переменной x, а y (x), y (x),...,
y (n)(x) — ее производные до n-го порядка включительно. Ино-
гда, для краткости, указание на аргумент функций мы будем
опускать и подразумевать его по умолчанию.
                                   3

Страницы