Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ния n-го порядка появится ровно n произвольных постоянных
C
1
,C
2
,...,C
n
:
y =Φ(x, C
1
,C
2
,...,C
n
) . (1.3)
Такое решение называется общим решением дифференциально-
го уравнения. Любое частное решение уравнения (1.2) получа-
ется из общего решения (1.3) при конкретных значениях посто-
янных C
1
,C
2
,...,C
n
, диктуемых условиями решаемой задачи.
Иначе говоря, общим решением называется решение, содержа-
щее в себе все без исключения частные решения. Задача отыска-
ния частного решения дифференциального уравнения, удовле-
творяющего некоторым заранее заданным условиям, называется
задачей Коши.
Рассмотрим задачу Коши для обыкновенного дифферен-
циального уравнения вида (1.2). Она ставится следующим обра-
зом: необходимо решить уравнение (1.2) в предположении, что
решение должно удовлетворять следующим условиям:
y(x
0
)=y
0
,y
(x
0
)=y
1
,y

(x
0
)=y
2
,...,y
(n−1)
(x
0
)=y
n−1
, (1.4)
где x
0
— некоторая заданная точка на действительной число-
вой прямой, y
0
,y
1
,y
2
,...,y
n−1
— некоторые заданные числа, то
есть в задаче Коши даны значения функции и всех ее производ-
ных до (n − 1)-го порядка включительно в некоторой точке x
0
.
Условия (1.4) называются данными Коши или начальными усло-
виями, а сами величины x
0
и y
0
,y
1
,y
2
,...,y
n−1
— начальными
значениями. Если общее решение дифференциального уравне-
ния уже получено в виде (1.3), то для отыскания констант, со-
ответствующих частному решению, удовлетворяющему данным
5
ния n-го порядка появится ровно n произвольных постоянных
C1, C2, . . . , Cn:
                        y = Φ(x, C1, C2, . . . , Cn) .                   (1.3)
Такое решение называется общим решением дифференциально-
го уравнения. Любое частное решение уравнения (1.2) получа-
ется из общего решения (1.3) при конкретных значениях посто-
янных C1, C2, . . . , Cn, диктуемых условиями решаемой задачи.
Иначе говоря, общим решением называется решение, содержа-
щее в себе все без исключения частные решения. Задача отыска-
ния частного решения дифференциального уравнения, удовле-
творяющего некоторым заранее заданным условиям, называется
задачей Коши.
      Рассмотрим задачу Коши для обыкновенного дифферен-
циального уравнения вида (1.2). Она ставится следующим обра-
зом: необходимо решить уравнение (1.2) в предположении, что
решение должно удовлетворять следующим условиям:

 y(x0) = y0 , y (x0) = y1 , y (x0) = y2 , . . . , y (n−1)(x0) = yn−1 , (1.4)

где x0 — некоторая заданная точка на действительной число-
вой прямой, y0, y1, y2, . . . , yn−1 — некоторые заданные числа, то
есть в задаче Коши даны значения функции и всех ее производ-
ных до (n − 1)-го порядка включительно в некоторой точке x0.
Условия (1.4) называются данными Коши или начальными усло-
виями, а сами величины x0 и y0, y1, y2, . . . , yn−1 — начальными
значениями. Если общее решение дифференциального уравне-
ния уже получено в виде (1.3), то для отыскания констант, со-
ответствующих частному решению, удовлетворяющему данным
                                      5

Страницы