Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Таким образом, получено общее решение уравнения. Исходя из физических
соображений можно сказать, что константа C
1
представляет собой началь-
ную скорость v
0
нашего тела, а константа C
2
— начальное положение x
0
.
Поэтому общее решение уравнения можно записать в виде
x(t)=x
0
+ v
0
t −
gt
2
2
,
где все величины приобретают ясный физический смысл. В нашем случае
v
0
=0,аx
0
= h, поэтому частное решение, удовлетворяющее начальным
условиям, имеет вид
x(t)=h −
gt
2
2
.
Наряду с задачей Коши часто приходится решать задачи,
в которых значение искомой функции задается в двух точках,
ограничивающих отрезок, на котором требуется определить ре-
шение. Такие задачи называются краевыми или граничными
задачами.
1.2. Геометрическое толкование дифференциального
уравнения первого порядка y
= f(x, y)
Введем на плоскости декартову систему координат. Пусть
y = ϕ(x) — решение уравнения y
= f(x, y). Соответству-
ющая этому решению кривая на плоскости называется инте-
гральной кривой дифференциального уравнения. ( Говоря шире,
интегральной кривой системы дифференциальных уравнений
называется график решения этой системы.) Рассматриваемое
уравнение каждой паре значений (x, y), то есть точке плоскости,
ставит определённое значение производной y
. Поскольку y
— тангенс угла наклона касательной в каждой точке интеграль-
ной кривой, то уравнение y
= f(x, y) определяет в каждой
7
Таким образом, получено общее решение уравнения. Исходя из физических
соображений можно сказать, что константа C1 представляет собой началь-
ную скорость v0 нашего тела, а константа C2 — начальное положение x0 .
Поэтому общее решение уравнения можно записать в виде
                                           gt2
                        x(t) = x0 + v0 t −     ,
                                            2
где все величины приобретают ясный физический смысл. В нашем случае
v0 = 0, а x0 = h, поэтому частное решение, удовлетворяющее начальным
условиям, имеет вид
                                      gt2
                           x(t) = h −     .
                                       2

     Наряду с задачей Коши часто приходится решать задачи,
в которых значение искомой функции задается в двух точках,
ограничивающих отрезок, на котором требуется определить ре-
шение. Такие задачи называются краевыми или граничными
задачами.

 1.2. Геометрическое толкование дифференциального
          уравнения первого порядка y  = f (x, y)

     Введем на плоскости декартову систему координат. Пусть
y = ϕ(x) — решение уравнения y  = f (x, y). Соответству-
ющая этому решению кривая на плоскости называется инте-
гральной кривой дифференциального уравнения. ( Говоря шире,
интегральной кривой системы дифференциальных уравнений
называется график решения этой системы.) Рассматриваемое
уравнение каждой паре значений (x, y), то есть точке плоскости,
ставит определённое значение производной y . Поскольку y 
— тангенс угла наклона касательной в каждой точке интеграль-
ной кривой, то уравнение y  = f (x, y) определяет в каждой
                                   7

Страницы