Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
F
1
(x, y
1
,y
1
,y

1
,...,y
(n
1
)
1
,...,y
m
,y
m
,y

m
,...,y
(n
m
)
m
)=0,
F
2
(x, y
1
,y
1
,y

1
,...,y
(n
1
)
1
,...,y
m
,y
m
,y

m
,...,y
(n
m
)
m
)=0,
.......................
F
l
(x, y
1
,y
1
,y

1
,...,y
(n
1
)
1
,...,y
m
,y
m
,y

m
,...,y
(n
m
)
m
)=0,
(1.5)
где F
i
(i =1,...,l) — функции многих переменных от указан-
ных аргументов.
Определение 5. Наивысший порядок производной, входя-
щей в уравнения системы (1.5), называется порядком системы
дифференциальных уравнений.
Очевидно, что порядок системы (1.5) — это наибольшее из
чисел n
1
,n
2
,...,n
m
.
Определение 6. Набор функций y
i
= ϕ
i
(x)(i =1,...,m),
превращающий все уравнения системы (1.5) в тождество, на-
зывается частным решением этой системы дифференциальных
уравнений.
Как и в пункте 1.1., общим решением называется решение,
содержащее в себе все без исключения частные решения.
1.4. Дифференциальные уравнения в частных
производных
До сих пор мы рассматривали в этой лекции только обыкно-
венные дифференциальные уравнения, неизвестные функции в
которых были функциями одной переменной. Однако во многих
практических задачах таких функций оказывается недостаточ-
но для описания изучаемых процессов, и необходимо рассматри-
вать функции многих переменных. Обобщение понятия диффе-
9
  ⎧
      F1(x, y1, y1 , y1, . . . , y1 1 , . . . , ym, ym
                                                            
  ⎪
  ⎪                                 (n )                                   (nm )
  ⎪
  ⎪
  ⎪
  ⎪
                                                          , ym  , . . . , ym     ) = 0,
  ⎪
  ⎪
  ⎪
      F2(x, y1, y1 , y1, . . . , y1 1 , . . . , ym, ym
                                                            
  ⎪
  ⎪                                 (n )                                   (nm )
  ⎨                                                       , ym  , . . . , ym     ) = 0,
  ⎪                                                                                        (1.5)
  ⎪
  ⎪
  ⎪
  ⎪
  ⎪
  ⎪
         . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
  ⎪
  ⎪
  ⎪
      Fl (x, y1, y1 , y1, . . . , y1 1 , . . . , ym, ym
                                                             
  ⎪                                 (n )                                    (nm )
  ⎩                                                        , ym  , . . . , ym     ) = 0,
где Fi (i = 1, . . . , l) — функции многих переменных от указан-
ных аргументов.
       Определение 5. Наивысший порядок производной, входя-
щей в уравнения системы (1.5), называется порядком системы
дифференциальных уравнений.
       Очевидно, что порядок системы (1.5) — это наибольшее из
чисел n1, n2, . . . , nm.
       Определение 6. Набор функций yi = ϕi(x) (i = 1, . . . , m),
превращающий все уравнения системы (1.5) в тождество, на-
зывается частным решением этой системы дифференциальных
уравнений.
       Как и в пункте 1.1., общим решением называется решение,
содержащее в себе все без исключения частные решения.

        1.4. Дифференциальные уравнения в частных
                                      производных

       До сих пор мы рассматривали в этой лекции только обыкно-
венные дифференциальные уравнения, неизвестные функции в
которых были функциями одной переменной. Однако во многих
практических задачах таких функций оказывается недостаточ-
но для описания изучаемых процессов, и необходимо рассматри-
вать функции многих переменных. Обобщение понятия диффе-
                                                 9

Страницы