Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Как и в случае обыкновенных уравнений, уравнение в частных про-
изводных имеет бесконечно много частных решений. Однако общее реше-
ние такого уравнения оказывается сложнее. В качестве примера рассмотрим
уравнение в частных производных вида
F (x
1
,x
2
,u,
∂u
∂x
1
)=0. (1.7)
В уравнение входит только производная
∂u
∂x
1
. При постоянном значении пе-
ременной x
2
уравнение (1.7) можно рассматривать как обыкновенное диф-
ференциальное уравнение первого порядка с неизвестной функцией u и
независимой переменной x
1
. Параметр x
2
изменяет вид этого уравнения.
Пусть общим решением уравнения (1.7), рассматриваемого как обыкновен-
ное дифференциальное уравнение, является функция
u =Φ(x
1
,x
2
,C) , (1.8)
которая содержит произвольную постоянную C и параметр x
2
. Однако, для
того чтобы выражение (1.8) было решением уравнения (1.7), необходимо и
достаточно, чтобы C была постоянной только относительно переменной x
1
.
Следовательно, C может быть произвольной функцией от переменной x
2
,
то есть C = f(x
2
). Таким образом, общее решение уравнения (1.7) имеет
вид
u =Φ(x
1
,x
2
,f(x
2
)) ,
где f (x
2
) — произвольная функция указанной переменной. Итак, общее ре-
шение уравнения в частных производных первого порядка вида (1.7) содер-
жит одну произвольную функцию. Естественно ожидать от более сложных
уравнений в частных производных еще большего произвола в характере об-
щих решений.
ЛЕКЦИЯ 2
В этой лекции мы рассмотрим некоторые простейшие инте-
грируемые типы обыкновенных дифференциальных уравнений
11
     Как и в случае обыкновенных уравнений, уравнение в частных про-
изводных имеет бесконечно много частных решений. Однако общее реше-
ние такого уравнения оказывается сложнее. В качестве примера рассмотрим
уравнение в частных производных вида
                                           ∂u
                         F (x1 , x2 , u,       )=0.                (1.7)
                                           ∂x1
                                       ∂u
В уравнение входит только производная     . При постоянном значении пе-
                                      ∂x1
ременной x2 уравнение (1.7) можно рассматривать как обыкновенное диф-
ференциальное уравнение первого порядка с неизвестной функцией u и
независимой переменной x1 . Параметр x2 изменяет вид этого уравнения.
Пусть общим решением уравнения (1.7), рассматриваемого как обыкновен-
ное дифференциальное уравнение, является функция

                            u = Φ(x1 , x2 , C) ,                   (1.8)

которая содержит произвольную постоянную C и параметр x2 . Однако, для
того чтобы выражение (1.8) было решением уравнения (1.7), необходимо и
достаточно, чтобы C была постоянной только относительно переменной x1 .
Следовательно, C может быть произвольной функцией от переменной x2 ,
то есть C = f (x2 ). Таким образом, общее решение уравнения (1.7) имеет
вид
                           u = Φ(x1 , x2 , f (x2 )) ,
где f (x2 ) — произвольная функция указанной переменной. Итак, общее ре-
шение уравнения в частных производных первого порядка вида (1.7) содер-
жит одну произвольную функцию. Естественно ожидать от более сложных
уравнений в частных производных еще большего произвола в характере об-
щих решений.


                            ЛЕКЦИЯ 2

     В этой лекции мы рассмотрим некоторые простейшие инте-
грируемые типы обыкновенных дифференциальных уравнений

                                      11

Страницы