Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 10 стр.

ренциального уравнения на случай, когда неизвестная функция
зависит от многих переменных, приводит к понятию дифферен-
циального уравнения в частных производных.
       Пусть u = u(x1, x2, . . . , xn) — искомая функция, зависящая
от нескольких независимых переменных x1, x2, . . . , xn (n > 1).
       Определение 7. Выражение вида
   ⎛                                                             ⎞
   ⎜                    ∂u ∂u          ∂u ∂ 2u ∂ 2u          ∂ mu ⎟
 Φ ⎝x1, x2, ..., xn, u,    ,    , ...,    ,    ,       , ..., m ⎠ = 0
                        ∂x1 ∂x2        ∂xn ∂x21 ∂x1∂x2       ∂xn
                                                                    (1.6)
называется дифференциальным уравнением в частных произ-
водных  m-го порядка относительно неизвестной функции от
                  def
n переменных u(x) = u(x1, x2, ..., xn). Как и в обыкновенных
дифференциальных уравнениях, порядок старшей производной,
входящей в уравнение, называется порядком этого уравнения.
       Дифференциальные уравнения в частных производных яв-
ляются обобщением обыкновенных дифференциальных уравне-
ний, поскольку обыкновенные уравнения можно формально рас-
сматривать как частный случай уравнения (1.6) при n = 1. Так
же как и в случае обыкновенных уравнений, решить уравнение
(1.6) — это значит найти такую функцию u = ϕ(x1, . . . , xn), ко-
торая при подстановке ее в уравнение обращает это уравнение
в тождество.
       Определение 8. Функция u = ϕ(x1, . . . , xn), обращающая
дифференциальное уравнение в частных производных в тожде-
ство, называется частным решением этого дифференциального
уравнения.


                                   10