Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

2.1. Уравнения с разделяющимися переменными
Наиболее простым и легко решаемым уравнением среди
всех обыкновенных дифференциальных уравнений первого по-
рядка является уравнение с разделяющимися переменными. Урав-
нение с разделяющимися переменными — это дифференциаль-
ное уравнение первого порядка, которое может быть записано в
виде
y
= g(x) h(y) . (2.4)
Представляя производную как отношение дифференциалов, урав-
нение (2.4), если h(y) =0, можно переписать в виде
dy
h(y)
= g(x) dx
или
f(y) dy = g(x) dx ,
где f(y)=
1
h(y)
. Таким образом, мы разделили переменные: в
правую часть уравнения вошла только функция от переменной y
и дифференциал от y, а в левую — функция от x и дифференци-
ал от x. Получившееся выражение является равенством диффе-
ренциалов некоторых двух функций, одна из которых функция
только переменной x, а другая только переменной y, то есть
dF (y)=f(y) dy , dG(x)=g(x) dx ,
и наше уравнение принимает вид
dF (y)=dG(x) .
Интегрируя обе части этого уравнения, находим общий интеграл
уравнения (2.4):
F (y)=G(x)+C,
13
   2.1. Уравнения с разделяющимися переменными
       Наиболее простым и легко решаемым уравнением среди
всех обыкновенных дифференциальных уравнений первого по-
рядка является уравнение с разделяющимися переменными. Урав-
нение с разделяющимися переменными — это дифференциаль-
ное уравнение первого порядка, которое может быть записано в
виде
                          y  = g(x) h(y) .                  (2.4)
Представляя производную как отношение дифференциалов, урав-
нение (2.4), если h(y) = 0, можно переписать в виде
                           dy
                               = g(x) dx
                          h(y)
или
                        f (y) dy = g(x) dx ,
где f (y) = 1 . Таким образом, мы разделили переменные: в
           h(y)
правую часть уравнения вошла только функция от переменной y
и дифференциал от y, а в левую — функция от x и дифференци-
ал от x. Получившееся выражение является равенством диффе-
ренциалов некоторых двух функций, одна из которых функция
только переменной x, а другая только переменной y, то есть
              dF (y) = f (y) dy ,        dG(x) = g(x) dx ,
и наше уравнение принимает вид
                         dF (y) = dG(x) .
Интегрируя обе части этого уравнения, находим общий интеграл
уравнения (2.4):
                        F (y) = G(x) + C ,
                                    13

Страницы