Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Однородное уравнение приводится к уравнению с разделя-
ющимися переменными при замене неизвестной функции. Вве-
дем неизвестную функцию u = u(x), связанную с введенной
ранее функцией соотношением y = x ·u. Отсюда y
= u + x ·u
,
и уравнение (2.5) приводится к виду
u + x · u
= f(u) .
Это дифференциальное уравнение для новой функции. Оно яв-
ляется уравнением с разделяющимися переменными, поскольку
при f(u) − u =0,x=0
du
f(u) − u
=
dx
x
.
Интегрируя обе части последнего соотношения, можно получить
общее решение в виде
x = C exp
⎛
⎜
⎝
du
f(u) − u
⎞
⎟
⎠
.
Обозначим
ϕ(u)=exp
⎛
⎜
⎝
du
f(u) − u
⎞
⎟
⎠
,
тогда, возвращаясь к старой функции, можно записать общее
решение уравнения (2.5) в виде
x = Cϕ
y
x
.
Следует отметить, что кроме этого общего решения, урав-
нение (2.5) может иметь также решение вида
y = u
0
x,
где u
0
— константа, являющаяся корнем уравнения f(u)=u.
15
    Однородное уравнение приводится к уравнению с разделя-
ющимися переменными при замене неизвестной функции. Вве-
дем неизвестную функцию u = u(x), связанную с введенной
ранее функцией соотношением y = x · u . Отсюда y  = u + x · u ,
и уравнение (2.5) приводится к виду

                        u + x · u = f (u) .

Это дифференциальное уравнение для новой функции. Оно яв-
ляется уравнением с разделяющимися переменными, поскольку
при f (u) − u = 0, x = 0
                             du      dx
                                   =    .
                         f (u) − u    x
Интегрируя обе части последнего соотношения, можно получить
общее решение в виде
                               ⎛                 ⎞
                                           du ⎟
                    x = C exp ⎜
                              ⎝                   ⎠ .
                                        f (u) − u
    Обозначим
                                ⎛                 ⎞
                                           du ⎟
                                ⎜
                   ϕ(u) = exp   ⎝                 ⎠ ,
                                        f (u) − u
тогда, возвращаясь к старой функции, можно записать общее
решение уравнения (2.5) в виде
                               y
                       x = Cϕ      .
                               x
    Следует отметить, что кроме этого общего решения, урав-
нение (2.5) может иметь также решение вида

                             y = u0 x ,

где u0 — константа, являющаяся корнем уравнения f (u) = u.
                                   15

Страницы