Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Пусть дано уравнение вида (2.6). Однородное уравнение на-
зывается соответствующим данному неоднородному, если оно
получается из неоднородного приравниванием к нулю правой
части уравнения (2.6).
Пусть решение однородного уравнения имеет вид (2.7), то-
гда решение уравнения (2.6) будем искать в виде
y = C(x)exp
−
a(x) dx
, (2.8)
где C(x) — неизвестная функция. Подставляя (2.8) в уравнение
(2.6), получим
C
(x)exp
−
a(x) dx
− C(x) a(x)exp
−
a(x) dx
+
+ C(x) a(x)exp
−
a(x) dx
= b(x) ,
что приводит к дифференциальному уравнению для функции
C(x):
C
(x)=b(x)exp
a(x) dx
.
Это уравнение является уравнением с разделяющимися пере-
менными, и его общее решение имеет вид
C(x)=
b(x)exp
a(x) dx
dx + C,
где C в правой части — обычная произвольная константа неопре-
деленного интегрирования. Следовательно, общее решение ли-
нейного неоднородного уравнения можно записать в виде
y =
b(x)exp
a(x) dx
dx + C
exp
−
a(x) dx
. (2.9)
Следует отметить, что второе слагаемое этого решения яв-
ляется общим решением линейного однородного уравнения, со-
ответствующего линейному неоднородному, а первое слагаемое
17
    Пусть дано уравнение вида (2.6). Однородное уравнение на-
зывается соответствующим данному неоднородному, если оно
получается из неоднородного приравниванием к нулю правой
части уравнения (2.6).
    Пусть решение однородного уравнения имеет вид (2.7), то-
гда решение уравнения (2.6) будем искать в виде
                                                                         
                             y = C(x) exp − a(x) dx ,                                          (2.8)

где C(x) — неизвестная функция. Подставляя (2.8) в уравнение
(2.6), получим
                                                                                      
        
    C (x) exp − a(x) dx − C(x) a(x) exp − a(x) dx +
                                                                     
                    + C(x) a(x) exp − a(x) dx = b(x) ,
что приводит к дифференциальному уравнению для функции
C(x):
                                                                         
                              
                         C (x) = b(x) exp                          a(x) dx .
Это уравнение является уравнением с разделяющимися пере-
менными, и его общее решение имеет вид
                                                                    
                    C(x) =            b(x) exp                a(x) dx dx + C ,

где C в правой части — обычная произвольная константа неопре-
деленного интегрирования. Следовательно, общее решение ли-
нейного неоднородного уравнения можно записать в виде
                                                                               
   y=            b(x) exp         a(x) dx dx + C exp − a(x) dx .                               (2.9)

    Следует отметить, что второе слагаемое этого решения яв-
ляется общим решением линейного однородного уравнения, со-
ответствующего линейному неоднородному, а первое слагаемое
                                                     17

Страницы