Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

является частным решением линейного неоднородного уравне-
ния.
На практике нет необходимости пользоваться общими фор-
мулами (2.7) и (2.9) для нахождения общих решений линейных
уравнений. Линейное однородное уравнение можно проинтегри-
ровать непосредственно, разделяя переменные, а линейное неод-
нородное уравнение можно решить описанным здесь методом
вариации постоянной.
2.4. Уравнение Бернулли
К линейным уравнениям приводятся некоторые другие ти-
пы дифференциальных уравнений. Одним из таких уравнений
является уравнение Бернулли, которое имеет вид
y
+ a(x) y = b(x) y
n
, (2.10)
где n = const. Очевидно, что при n =0мы получим неодно-
родное линейное уравнение, а при n =1уравнение Бернулли
является линейным однородным уравнением. Поэтому в даль-
нейшем полагаем n =0,n=1.
В общем случае уравнение Бернулли сводится к линейному
неоднородному уравнению заменой неизвестной функции
u = y
1−n
.
Произведя соответствующую замену в уравнении (2.10), полу-
чим для новой функции u линейное неоднородное уравнение
вида
u
+(1− n) a(x) u =(1− n) b(x) .
18
является частным решением линейного неоднородного уравне-
ния.
       На практике нет необходимости пользоваться общими фор-
мулами (2.7) и (2.9) для нахождения общих решений линейных
уравнений. Линейное однородное уравнение можно проинтегри-
ровать непосредственно, разделяя переменные, а линейное неод-
нородное уравнение можно решить описанным здесь методом
вариации постоянной.

                  2.4. Уравнение Бернулли

       К линейным уравнениям приводятся некоторые другие ти-
пы дифференциальных уравнений. Одним из таких уравнений
является уравнение Бернулли, которое имеет вид

                      y  + a(x) y = b(x) y n ,          (2.10)

где n = const. Очевидно, что при n = 0 мы получим неодно-
родное линейное уравнение, а при n = 1 уравнение Бернулли
является линейным однородным уравнением. Поэтому в даль-
нейшем полагаем n = 0 , n = 1.
       В общем случае уравнение Бернулли сводится к линейному
неоднородному уравнению заменой неизвестной            функции

                            u = y 1−n .

Произведя соответствующую замену в уравнении (2.10), полу-
чим для новой функции u линейное неоднородное уравнение
вида
                u + (1 − n) a(x) u = (1 − n) b(x) .

                                 18

Страницы